SMO 2014 - Junior - Vòng 2

Xét các số nguyên được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, không lặp chữ số. Tìm số lớn nhất chia hết cho 55 và giải thích đáp án.

Cho số nguyên dương $a$ sao cho hai chữ số cuối của $a^2$ đều khác 0. Khi xóa hai chữ số cuối của $a^2$, số còn lại vẫn là số chính phương. Tìm, kèm chứng minh, tất cả các giá trị có thể của $a$.

Trong tam giác $ABC$, phân giác góc $A$ cắt phân giác góc $B$ tại $I$; $D$ là chân đường vuông góc từ $I$ xuống $BC$. Chứng minh phân giác góc $BIC$ vuông góc với phân giác góc $AID$.

Tìm, kèm chứng minh, tất cả các số thực dương $a,b,c$ thỏa hệ phương trình: $$a\sqrt b=a+c,\qquad b\sqrt c=b+a,\qquad c\sqrt a=c+b.$$

Trên bảng $8\times8$, có $n$ đĩa đánh số từ 1 đến $n$, xếp chồng theo thứ tự ngẫu nhiên ở ô góc dưới bên trái. Mỗi lần có thể chuyển một đĩa sang ô kề bên phải hoặc phía trên. Mục tiêu là chuyển tất cả đĩa đến ô góc trên bên phải và xếp chúng theo thứ tự $1,2,\ldots,n$ từ dưới lên. Mỗi ô, trừ hai ô góc xuất phát và đích, chứa nhiều nhất một đĩa tại mọi thời điểm. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ để thực hiện được mục tiêu.