Trong tam giác $ABC$ có $AC\gt AB$, $D$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$, còn $E$ là chân đường vuông góc từ $D$ xuống $AC$. Gọi $F$ là điểm trên đường thẳng $DE$ sao cho $EF\cdot DC=BD\cdot DE$. Chứng minh rằng $AF$ vuông góc với $BF$.
Các số $\frac11,\frac12,\ldots,\frac1{2010}$ được viết lên bảng. Một học sinh chọn hai số bất kỳ, gọi là $x,y$, xóa chúng rồi viết số $x+y+xy$. Học sinh tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một số. Số đó là bao nhiêu?
Một dãy số nguyên vô hạn $a_0,a_1,a_2,\ldots$, với $a_0\gt 0$, có tính chất: với mọi $n\ge0$, $a_{n+1}=a_n-b_n$, trong đó $b_n$ cùng dấu với $a_n$ nhưng các chữ số được viết theo thứ tự ngược lại. Ví dụ, nếu $a_0=1210$ thì $a_1=1089$, $a_2=-8712$, v.v. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_0$ sao cho $a_n\ne0$ với mọi $n\ge1$.
Cho $p$ là số nguyên tố và $a_1,a_2,\ldots,a_k$ là các số nguyên phân biệt được chọn từ $1,2,\ldots,p-1$. Với $1\le i\le k$, gọi $r_i^{(n)}$ là số dư của $na_i$ khi chia cho $p$, nên $0\le r_i^{(n)}\lt p$. Đặt