Cho hai đường chéo của hình vuông $ABCD$ cắt nhau tại $S$, và $P$ là trung điểm của $AB$. Gọi $M$ là giao điểm của $AC$ và $PD$, còn $N$ là giao điểm của $BD$ và $PC$. Một đường tròn nội tiếp tứ giác $PMSN$. Chứng minh rằng bán kính đường tròn bằng $MP-MS$.
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên dương, không nhất thiết khác nhau nhưng có ít nhất năm giá trị phân biệt. Giả sử với mọi $1\le i\lt j\le n$, tồn tại $k,l$, đều khác $i$ và $j$, sao cho $a_i+a_j=a_k+a_l$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $n$ là bao nhiêu?
Một học sinh chia số nguyên $m$ cho số nguyên dương $n$, với $n\le100$, và khẳng định rằng $$\frac mn=0.167a_1a_2\ldots.$$ Chứng minh rằng học sinh đó chắc chắn đã sai.
Các số $\frac11,\frac12,\ldots,\frac1{2010}$ được viết lên bảng. Một học sinh chọn hai số bất kỳ, gọi là $x,y$, xóa chúng rồi viết số $x+y+xy$. Học sinh tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một số. Số đó là bao nhiêu?