Cho $CD$ là dây của đường tròn $\Gamma_1$, còn $AB$ là đường kính của $\Gamma_1$, vuông góc với $CD$ tại $N$, với $AN\gt NB$. Đường tròn $\Gamma_2$ tâm $C$, bán kính $CN$, cắt $\Gamma_1$ tại $P,Q$. Đường thẳng $PQ$ cắt $CD$ tại $M$ và cắt $AC$ tại $K$; phần kéo dài của $NK$ cắt $\Gamma_2$ tại $L$. Chứng minh $PQ$ vuông góc với $AL$.
Cho hai dãy số nguyên $a_n,b_n$, $n=1,2,\ldots$, xác định bởi $a_1=1,b_1=0$ và, với $n\ge1$,
$$a_{n+1}=7a_n+12b_n+6,\qquad b_{n+1}=4a_n+7b_n+3.$$
Chứng minh $a_n^2$ là hiệu của hai lập phương liên tiếp.
Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho, với mọi cách tô các ô của bàn cờ $2n\times k$ bằng $n$ màu, luôn có hai cột và hai hàng mà bốn ô giao nhau có cùng màu.
Cho $p$ là số nguyên tố và $x,y,z$ là các số nguyên dương với $0\lt x\lt y\lt z\lt p$. Giả sử $x^3,y^3,z^3$ có cùng số dư khi chia cho $p$. Chứng minh $x^2+y^2+z^2$ chia hết cho $x+y+z$.