SMO 2010 - Senior - Vòng 1

Tính giá trị

$$\frac{(1\times2\times3)+(2\times4\times6)+(3\times6\times9)+\cdots+(335\times670\times1005)}{(1\times3\times6)+(2\times6\times12)+(3\times9\times18)+\cdots+(335\times1005\times2010)}.$$

Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa

$$\frac{b+c+d}{a}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=r.$$

Tìm giá trị của $r$.

Cho $0\lt x\lt \pi/2$, $\sin x-\cos x=\pi/4$ và

$$\tan x+\frac1{\tan x}=\frac{a}{b-\pi^c},$$

trong đó $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tìm $a+b+c$.

Tính $\sqrt{14^3+15^3+16^3+\cdots+24^3+25^3}$.

Trong hình dưới, tam giác cân $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $AD$, với $AB=AC$. $AD$ cắt $BC$ tại $E$, $F$ là trung điểm $OE$. Biết $BD\parallel FC$, $BC=2\sqrt5$ cm, tìm độ dài $CD$ theo cm.

Tìm số cặp có thứ tự $(x,y)$, trong đó $x$ nguyên, $y$ là số chính phương, thỏa $y=(x-90)^2-4907$.

Cho $S=\{1,2,3,\ldots,9,10\}$. Một tập con không rỗng của $S$ được gọi là “Tốt” nếu số phần tử chẵn không ít hơn số phần tử lẻ trong tập con đó. Chẳng hạn $\{4,8\}$, $\{3,4,7,8\}$, $\{1,3,6,8,10\}$ đều “Tốt”. Có bao nhiêu tập con “Tốt” của $S$?

Nếu đồ thị hàm bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ $(a\ne0)$ đi qua hai điểm phân biệt $(r,k)$, $(s,k)$, thì $f(r+s)$ bằng bao nhiêu?

Tìm số các số nguyên dương $k\lt 100$ sao cho $2(3^{6n})+k(2^{3n+1})-1$ chia hết cho $7$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho hình thang $ABCD$ có $AD\parallel BC$, $\angle ADC=90^\circ$ như hình. Biết $M$ là trung điểm $AB$, $CM=13/2$ cm và $BC+CD+DA=17$ cm. Tìm diện tích hình thang $ABCD$ theo cm$^2$.

Diện tích hình chữ nhật không đổi khi tăng chiều dài $6$ đơn vị và giảm chiều rộng $2$ đơn vị, hoặc giảm chiều dài $12$ đơn vị và tăng chiều rộng $6$ đơn vị. Nếu chu vi hình chữ nhật ban đầu là $x$ đơn vị, tìm $x$.

Với $r=1,2,3,\ldots$, đặt $u_r=1+2+3+\cdots+r$. Tính

$$\frac1{1/u_1}+\frac2{1/u_1+1/u_2}+\frac3{1/u_1+1/u_2+1/u_3}+\cdots+\frac{100}{1/u_1+1/u_2+\cdots+1/u_{100}}.$$

Nếu $2010!=M\times10^k$, với $M$ là số nguyên không chia hết cho $10$, tìm $k$.

Cho $a>b>1$ và

$$\frac1{\log_a b}+\frac1{\log_b a}=\sqrt{1229}.$$

Tính $\dfrac1{\log_{ab}b}-\dfrac1{\log_{ab}a}$.

Với số thực $x$, kí hiệu $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$, còn $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x$ (chẳng hạn $\lceil1.23\rceil=2$, $\lfloor1.23\rfloor=1$). Tính

$$\sum_{k=1}^{2010}\left\lceil\frac{2010}{k}-\left\lfloor\frac{2010}{k}\right\rfloor\right\rceil.$$

Cho $f(x)=\dfrac{x^{2010}}{x^{2010}+(1-x)^{2010}}$. Tính

$$f\left(\frac1{2011}\right)+f\left(\frac2{2011}\right)+f\left(\frac3{2011}\right)+\cdots+f\left(\frac{2010}{2011}\right).$$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa

$$ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=35.$$

Tính $(a+1)(b+1)(c+1)$.

Trong hình dưới, $AB,CD$ là hai dây song song của đường tròn tâm $O$, bán kính $r$ cm. Biết $AB=46$ cm, $CD=18$ cm và $\angle AOB=3\times\angle COD$. Tìm $r$.

Tìm số cách viết $2010$ thành tổng của một hoặc nhiều số nguyên dương theo thứ tự không giảm, sao cho hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu không quá $1$.

Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp có tổng bằng $2010$.