MathNet 2008-part-03 — 165 bài (EN–VI)

Cho dãy số $49$, $4489$, $444889$, ... được lập sao cho số $48$ được viết vào giữa số hạng đứng trước. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Tìm giá trị của $y$ để $\sqrt{y^2 + 2y + 1}$, $\frac{y^2 + 3y - 1}{3}$, $y-1$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

Độ dài ba cạnh của một tam giác là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh rằng đường thẳng nối trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác song song với cạnh có độ dài trung bình.

Giải phương trình $\frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \dots + \frac{1}{x} = \frac{3x-20}{4}$ trong tập $\mathbb{N}$.

Chứng minh rằng nếu $\left|\frac{a+b}{2}\right| + \left|\frac{a-b}{2}\right| \lt c$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ thì $|a| \lt c$ và $|b| \lt c$.

Chứng minh rằng nếu $2a_m = a_n$ thì $a_{2m-n}$ là số chính phương, trong đó $a_n = 1+2+...+n$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Một trường có $32$ lớp. Trong đó sáu lớp có $29$ học sinh mỗi lớp, tám lớp có $30$ học sinh mỗi lớp, hai lớp có $31$ học sinh mỗi lớp và các lớp còn lại có $32$ học sinh mỗi lớp. Hỏi trường có tất cả bao nhiêu học sinh?

Nếu một cạnh của một hình vuông được tăng lên hai lần và cạnh kia được tăng thêm $22\text{ mm}$ thì hình chữ nhật mới có chu vi lớn hơn chu vi hình vuông $2000\text{ mm}$. Tính độ dài cạnh của hình vuông.

Có 25 con chim đậu trên hai cành cây. Một lúc sau 5 con chim từ cành thứ nhất bay sang cành thứ hai, rồi một lúc nữa 7 con chim từ cành thứ hai bay đi. Lúc đó trên cành thứ nhất có số chim gấp đôi số chim trên cành thứ hai. Lúc đầu mỗi cành có bao nhiêu con chim?

Từ các chữ số $3$, $7$, $1$, $9$, $0$ và $4$, Mila lập số có sáu chữ số lớn nhất và số có sáu chữ số nhỏ nhất, mỗi chữ số được dùng đúng một lần trong mỗi số. Sau đó bạn ấy giảm hiệu của hai số đó đi $9$ lần. Bạn ấy nhận được số nào?

Bốn bạn Andrej, Bojan, Vasko và Goce sưu tập tem thư. Andrej có số tem bằng tổng số tem của Bojan và Vasko. Goce có số tem ít hơn Andrej năm lần, còn Bojan có số tem nhiều gấp bốn lần Vasko. Nếu cả bốn bạn có tất cả 5016 con tem thì mỗi bạn có bao nhiêu con tem?

Có hai cái bình rỗng. Bình thứ nhất chứa được đúng 3 lít chất lỏng và bình thứ hai chứa được đúng 5 lít. Có thể dùng hai bình này để đong được đúng 4 lít chất lỏng hay không?

Một học sinh nhân hai số. Khi nhân, em đã đổi chữ số tận cùng của số thứ nhất, vốn là $4$, thành $1$. Vì vậy em nhận được kết quả $525$ thay vì $600$. Học sinh đó đã nhân hai số nào?

Trong một buổi tập của câu lạc bộ bóng đá có 225 trẻ em và 105 quả bóng. Các em được chia thành một số nhóm bằng nhau. Các huấn luyện viên phát cho mỗi nhóm số bóng như nhau. Có bao nhiêu nhóm được lập và mỗi nhóm nhận được bao nhiêu quả bóng? Bài toán có bao nhiêu nghiệm?

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và tạo thành bốn góc, hai góc nhọn và hai góc tù. Tổng của hai góc nhọn bằng một nửa một góc tù. Hãy tính các góc đó.

Một hình chữ nhật có hai cạnh dài $a$ cm và $b$ cm. Nếu cạnh dài $a$ cm được tăng thêm $b$ cm và cạnh dài $b$ cm được tăng thêm $a$ cm thì hình vuông thu được có diện tích $100\,\mathrm{cm}^2$. Hãy xác định hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện này có diện tích nhỏ nhất, biết độ dài các cạnh là các số nguyên dương.

Tính tổng của tất cả các số lẻ có ba chữ số mà tích các chữ số của chúng bằng $140$.

Maja đến hiệu sách để mua hai quyển sách. Giá quyển thứ nhất bằng $65\%$ và giá quyển thứ hai bằng $57.5\%$ số tiền Maja mang theo. Để mua hai quyển sách bạn ấy cần thêm $45$ denar. Maja đã mang theo bao nhiêu tiền?

Hai đường thẳng $p$ và $q$ cắt nhau tại $C$. Điểm $C$ chia đường thẳng $p$ thành hai nửa đường thẳng, mỗi nửa cùng với một nửa đường thẳng của $q$ có gốc $C$ tạo thành hai góc $pCq$ và $qCp$. Trên tia phân giác của góc $pCq$ chọn điểm $M$ sao cho $MN \parallel p$. Đoạn thẳng $MN$ cắt đường thẳng $q$ tại điểm $D$. Chứng minh rằng $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Ilina đã ăn $\frac{1}{5}$ số kẹo trong túi cộng thêm ba chiếc. Hôm sau, từ số kẹo còn lại bạn ấy ăn $\frac{1}{5}$ cộng thêm năm chiếc. Ngày thứ ba bạn ấy ăn nốt 15 chiếc kẹo còn lại. Lúc đầu trong túi có bao nhiêu chiếc kẹo?