Tom và Jerry chơi một trò chơi. Hai bạn luân phiên lấy một số viên bi ra khỏi hộp có 2024 viên bi, Tom đi trước. Trong mỗi lượt, người chơi phải lấy $2^m$ viên bi, với $m$ là số nguyên không âm, tức là $m=0,1,2,3,\ldots$. Ví dụ, người chơi có thể lấy 1 viên, 4 viên hoặc 32 viên, nhưng không thể lấy 10 viên vì 10 không phải là lũy thừa của 2. Người lấy những viên bi cuối cùng ra khỏi hộp thắng cuộc. Hãy xác định ai có chiến thuật chắc thắng và giải thích chiến thuật đó.
Trong hình, tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=8$ cm, $AC=12$ cm và $M$ là trung điểm của $AC$. Điểm $N$ nằm trên $BC$ sao cho $BN=2NC$. Độ dài $MN$ bằng bao nhiêu xăng-ti-mét?
Nala có sáu tấm thẻ. Các số trên thẻ đều là những ước có hai chữ số liên tiếp của tích $2023\times2024\times2025$. Bạn ấy chọn số thẻ ít nhất sao cho tổng tất cả các chữ số trên các thẻ đã chọn bằng 21. Bạn ấy xếp tất cả các thẻ đã chọn thành một hàng để tạo thành một số lớn hơn. Số lớn thứ hai mà Nala có thể tạo được là bao nhiêu?
Tony có hai bể nước, mỗi bể chứa được 1234 lít. Ban đầu bể Đỏ đầy nước, còn bể Xanh rỗng. Tony nhận lời thách đố của bạn mình: trong mỗi lượt, bạn ấy có thể thực hiện một trong hai lựa chọn sau:
- Lựa chọn A: Rót 1 lít nước từ bể Đỏ sang bể Xanh,
- Lựa chọn B: Xả ra khỏi bể Đỏ một lượng nước bằng lượng nước có trong bể Xanh ở thời điểm đó.
Tony cần ít nhất bao nhiêu lượt để lượng nước trong bể Đỏ bằng lượng nước trong bể Xanh?
Trong hình, $ABCD$ là tứ giác có $\angle ABC=90^\circ$, $AB=9$, $BC=12$, $CD=39$ và $DA=36$. Đường tròn $M$ tiếp xúc với mỗi cạnh của tam giác $ABC$, và đường tròn $N$ tiếp xúc với mỗi cạnh của tam giác $ACD$. Tỉ số giữa bán kính đường tròn $N$ và bán kính đường tròn $M$ bằng bao nhiêu?
Một bảng $5\times5$ được gọi là bảng UCAS nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
- Mỗi ô được tô màu xám hoặc trắng,
- Hai ô kề nhau bất kỳ (có chung một cạnh) phải khác màu,
- 25 ô được điền bằng 25 số nguyên liên tiếp, trong đó phải có số 2024,
- Các số trong hai ô kề nhau bất kỳ (có chung một cạnh) phải khác tính chẵn lẻ (không được cùng lẻ hoặc cùng chẵn).
Hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a. Lập một bảng UCAS sao cho tổng các số trong các ô tô xám lớn nhất có thể. Tổng đó bằng bao nhiêu?
b. Lập một bảng UCAS sao cho tổng các số trong các ô tô xám nhỏ nhất có thể. Tổng đó bằng bao nhiêu?
ROBOT IMSO đứng ở ô 1 trên một đường đi gồm 15 ô xếp thành một hàng như hình dưới đây. Trong mỗi lượt, ROBOT IMSO chỉ có thể đi 1, 2 hoặc 3 bước sang phải. Vì vậy, ở lượt đầu, ROBOT IMSO có thể đi một bước đến ô 2, hai bước đến ô 3 hoặc ba bước đến ô 4. Nếu ROBOT IMSO không được đi ra ngoài các ô, có tất cả bao nhiêu cách di chuyển để ROBOT IMSO đến ô 15?
Trong hình, 72 điểm nằm trên 3 hàng và 24 cột. Khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp và giữa hai cột liên tiếp đều bằng nhau. Có bao nhiêu cách vẽ một đường thẳng đi qua ít nhất 3 điểm?
Trong hình, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $\angle ABC=60^\circ$. Lấy điểm $D$ trên cạnh $AC$ sao cho $\angle ABD=20^\circ$. Lấy điểm $K$ trên tia $BD$ sao cho $DK=BC$. Số đo góc $KCB$ bằng bao nhiêu độ?
Điền lưới $4\times16$ bằng mười sáu mảnh $2\times2$ dưới đây, mỗi mảnh đúng một lần. Tổng mỗi cột phải bằng số ghi bên dưới; tổng mỗi hàng được ghi bên phải. Số thứ tự của các mảnh ứng với [C], [H], [I], [N], [A] là bao nhiêu?
a. Trong hình bên trái, một bộ chuẩn được đặt trong lưới $8\times8$. Dùng bút chì đánh dấu vị trí các quân. Bảng kiểm bên phải có thể giúp: gạch bỏ mỗi quân đã tìm được. Quân 0-0 đã được đánh dấu sẵn.
b. Đường đậm chỉ vị trí mỗi quân. Các số bên cạnh mỗi hàng và bên dưới mỗi cột phải nằm trong hàng hoặc cột tương ứng, không nhất thiết theo thứ tự đã cho. Trong quân nằm ngang, số nhỏ hơn ở bên phải; trong quân thẳng đứng, số nhỏ hơn ở trên. Mỗi quân tô màu có hai số bằng nhau. Hoàn thành lưới $8\times8$.
Ghi chú biên tập về nguồn: cả hai hình thực tế có 7 hàng và 8 cột. Giữ nguyên lời văn và số liệu gốc; xem lời giải về các mâu thuẫn khác.
Đặt một mũi tên trong mỗi ô thuộc 16 ô bên ngoài, theo phương dọc, ngang hoặc chéo 45 độ, hướng vào lưới viền đậm. Số ở mỗi ô trong viền đậm là số mũi tên chỉ tới ô đó. Vẽ đúng tất cả mũi tên và tìm số có năm chữ số $\overline{GREAT}$, với G,R,E,A,T là năm số còn thiếu.
Bảng vuông $5\times5$ thiếu ô ở tâm, được đánh dấu đen. Quân mã trắng đi hình chữ L: trong hình chữ nhật $3\times2$ minh họa, nó có thể đi A đến C, C đến A, B đến D hoặc D đến B. Bắt đầu ở ô trên cùng bên trái (ô 1), liệt kê mọi đường đi bằng cách viết theo thứ tự số các ô đi qua. Mỗi đường phải đi qua mọi ô còn lại đúng một lần.
