Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2019

Năm điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và $E$ nằm trên mặt phẳng sao cho $AB=90$ cm, $BC=45$ cm, $CD=252$ cm, $DE=81$ cm và $EA=36$ cm. Độ dài $CE$ bằng bao nhiêu cm?

Năm 2019, tuổi Peter lớn hơn tổng các chữ số của năm sinh 4 đơn vị. Peter có thể bao nhiêu tuổi (năm 2019)?

Có 23 học sinh trong một phòng. Các em 10, 11, 12 hoặc 13 tuổi, và mỗi độ tuổi có ít nhất một em. Tổng tuổi là 253; số học sinh 12 tuổi gấp 1,5 lần số học sinh 13 tuổi. Có bao nhiêu học sinh 10 tuổi?

Ông Nam có 10 khối hộp chữ nhật: một khối kích thước $2\text{ cm}\times2\text{ cm}\times2\text{ cm}$, ba khối $1\text{ cm}\times1\text{ cm}\times2\text{ cm}$ và sáu khối $1\text{ cm}\times1\text{ cm}\times1\text{ cm}$. Ông muốn dùng một số khối để tạo khối hộp chữ nhật lớn hơn. Diện tích toàn phần lớn nhất của khối mới bằng bao nhiêu cm²?

Xét các cách xếp $n$ hình tròn giống nhau, không chồng lên nhau, thành ít nhất hai hàng. Mỗi hình tròn phải tiếp xúc hình kế tiếp trong cùng hàng, và mỗi hình trừ những hình ở hàng dưới cùng phải tiếp xúc hai hình ở hàng ngay dưới. Ví dụ có 7 cách xếp với $n=6$ như hình dưới.



Vẽ mọi cách xếp với $n=8$.

Mỗi ô vuông nhỏ trong bảng $6\times6$ được điền một số trong 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho mỗi hàng hoặc cột chứa sáu số khác nhau. Một số ô đã điền như hình. Có bao nhiêu bảng hoàn chỉnh khác nhau?

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $n!+2019$ là số chính phương (trong đó $n!$ là tích mọi số nguyên từ 1 đến $n$).

Trong hình dưới, $ABCD$ là hình thang và $E$ là trung điểm $DC$. Diện tích các tam giác $ABG$, $ABF$ và $AGE$ lần lượt là 15 cm², 45 cm² và 60 cm². Diện tích hình thang $ABCD$ bằng bao nhiêu cm²?

Ông Nobi dùng giấy kẻ ô vuông $ABCD$ như hình để gấp phong bì.



Ông gấp như sau:
1) Gấp $D$ đến $F$;
2) Gấp $E$ đến $I$ và $G$ đến $K$;
3) Gấp $A$ đến $M$ và $B$ đến $N$;
4) Gấp $O$ đến $L$ và $P$ đến $L$;
5) Gấp $Q$ đến $R$.
Biết $AB=12$ cm, diện tích phong bì nhận được bằng bao nhiêu cm²?
Vẽ phong bì nhận được.

Có thể bỏ nhiều nhất bao nhiêu chữ số khỏi số có 1000 chữ số 20192019…2019 để tổng các chữ số còn lại bằng 2019? Số nhận được lớn nhất là số nào?

Một giải bóng đá có 8 đội, mỗi đội gặp mỗi đội khác một lần. Thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Sau khi mỗi đội chơi đúng 5 trận, cả 8 đội có số điểm khác nhau. Biết có 6 trận hòa trong các trận đã chơi, và đội hiện xếp thứ ba có 10 điểm. Đội hiện xếp thứ sáu có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm?

Có bốn hình vuông ký hiệu $I$, $M$, $S$ và $O$ như hình. Mỗi đỉnh được tô một trong ba màu: xanh lam, đỏ, vàng. Một cách tô được gọi là “chẵn” nếu trong mỗi hình vuông,4 đỉnh được tô đúng hai màu, sao cho 2 đỉnh cùng màu và 2 đỉnh còn lại cùng màu kia. Có bao nhiêu cách tô chẵn khác nhau?

Laila, Mary và Nelly thay phiên lấy hạt trong hộp theo mẫu tăng dần: Laila lấy 1 hạt, Mary lấy 2, Nelly lấy 3, rồi Laila lấy 4, Mary lấy 5, Nelly lấy 6, tiếp đó Laila lấy 7, và cứ thế. Khi số hạt còn lại ít hơn số cần lấy ở lượt kế tiếp, tất cả hạt đó thuộc về cô gái ở lượt ngay trước. Cuối cùng Laila nhận tổng cộng 2019 hạt. Ban đầu hộp có bao nhiêu hạt?

Hai số có sáu chữ số 123459 và 193452 là bội của 7. Dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 9 đúng một lần để lập thêm mười số có sáu chữ số khác nhau cũng là bội của 7.

Ghép hai hình vuông đơn vị cạnh nhau để tạo thành các quân ghép $2\times1$, rồi vẽ hình vào mỗi ô vuông như dưới đây. Ta được một bộ gồm 21 quân ghép có hình khác nhau.



Đặt 21 quân ghép này vào một lưới $6\times7$ như hình dưới đây. Mỗi quân được dùng đúng một lần; có thể xoay và đặt quân theo chiều ngang hoặc chiều dọc. Sau đó xóa đường viền của các quân ghép, chỉ còn nhìn thấy lưới các hình. Hãy xác định vị trí của 21 quân ghép ở trên trong lưới dưới đây bằng cách vẽ đường viền của từng quân.

Cho hình vẽ dưới đây. Hãy tìm nhiều cách nhất có thể để đặt thêm 7 bánh răng vào bảng tam giác sao cho có thể làm các bánh răng B và C chuyển động đồng thời bằng cách làm bánh răng A chuyển động. (Chỉ được gắn bánh răng tại các điểm đã cho và một bánh răng chỉ có thể làm bánh răng khác chuyển động nếu hai bánh răng được gắn tại hai điểm kề nhau.)



Ví dụ, có thể đặt thêm 7 bánh răng màu xám như hình sau để làm các bánh răng B và C chuyển động đồng thời bằng cách làm bánh răng A chuyển động.

Có bao nhiêu cách đặt hai quân cờ giống nhau vào lưới $3\times3$ như hình dưới đây, sao cho mỗi quân nằm trong đúng một ô và mỗi ô có nhiều nhất một quân? Vẽ tất cả các cách có thể lên phiếu trả lời. (Chú ý: Nếu có thể thu được một cách bố trí từ cách kia bằng phép quay thì hai cách đó chỉ được tính là một.)

Trên mỗi thẻ trong 16 thẻ dưới đây có ghi bốn chữ số, mỗi chữ số là 0 hoặc 1. Xếp các thẻ thành một vòng tròn sao cho hai thẻ kề nhau bất kỳ khác nhau tại đúng một vị trí. Ví dụ, 0101 và 0111 khác nhau tại đúng một vị trí, còn 0101 và 0110 khác nhau tại hai vị trí. Không được lật hoặc xoay thẻ.

Khi vẽ, các kỹ sư dùng hình chiếu để biểu diễn vật thể ba chiều. Ví dụ, vật hình chữ L được biểu diễn bằng ba hình chiếu: từ phía trước, từ bên cạnh và từ trên xuống.



Hình chiếu bằng; hình chiếu cạnh; hình chiếu đứng:



Một vật có hình chiếu bằng và hình chiếu đứng như sau:



Ngoài ra, biết rằng vật gồm 13 khối lập phương đơn vị. Các khối này nối thành một khối liền thông qua các mặt kề nhau. Hai khối lập phương kề nhau qua mặt nếu chúng có một mặt chung.

Ví dụ, hình sau thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.



Vẽ tất cả các hình chiếu cạnh có thể của vật này lên phiếu trả lời.

Chú thích chữ trong hình: “top view” là hình chiếu bằng, “side view” là hình chiếu cạnh, “front view” là hình chiếu đứng.

Chu vi hình dưới bằng bao nhiêu cm, biết rằng tất cả các góc đều là góc vuông?