IMSO 2019 - Phần thi Toán - Khám phá

Hai số có sáu chữ số 123459 và 193452 là bội của 7. Dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 9 đúng một lần để lập thêm mười số có sáu chữ số khác nhau cũng là bội của 7.

Ghép hai hình vuông đơn vị cạnh nhau để tạo thành các quân ghép $2\times1$, rồi vẽ hình vào mỗi ô vuông như dưới đây. Ta được một bộ gồm 21 quân ghép có hình khác nhau.



Đặt 21 quân ghép này vào một lưới $6\times7$ như hình dưới đây. Mỗi quân được dùng đúng một lần; có thể xoay và đặt quân theo chiều ngang hoặc chiều dọc. Sau đó xóa đường viền của các quân ghép, chỉ còn nhìn thấy lưới các hình. Hãy xác định vị trí của 21 quân ghép ở trên trong lưới dưới đây bằng cách vẽ đường viền của từng quân.

Cho hình vẽ dưới đây. Hãy tìm nhiều cách nhất có thể để đặt thêm 7 bánh răng vào bảng tam giác sao cho có thể làm các bánh răng B và C chuyển động đồng thời bằng cách làm bánh răng A chuyển động. (Chỉ được gắn bánh răng tại các điểm đã cho và một bánh răng chỉ có thể làm bánh răng khác chuyển động nếu hai bánh răng được gắn tại hai điểm kề nhau.)



Ví dụ, có thể đặt thêm 7 bánh răng màu xám như hình sau để làm các bánh răng B và C chuyển động đồng thời bằng cách làm bánh răng A chuyển động.

Có bao nhiêu cách đặt hai quân cờ giống nhau vào lưới $3\times3$ như hình dưới đây, sao cho mỗi quân nằm trong đúng một ô và mỗi ô có nhiều nhất một quân? Vẽ tất cả các cách có thể lên phiếu trả lời. (Chú ý: Nếu có thể thu được một cách bố trí từ cách kia bằng phép quay thì hai cách đó chỉ được tính là một.)

Trên mỗi thẻ trong 16 thẻ dưới đây có ghi bốn chữ số, mỗi chữ số là 0 hoặc 1. Xếp các thẻ thành một vòng tròn sao cho hai thẻ kề nhau bất kỳ khác nhau tại đúng một vị trí. Ví dụ, 0101 và 0111 khác nhau tại đúng một vị trí, còn 0101 và 0110 khác nhau tại hai vị trí. Không được lật hoặc xoay thẻ.

Khi vẽ, các kỹ sư dùng hình chiếu để biểu diễn vật thể ba chiều. Ví dụ, vật hình chữ L được biểu diễn bằng ba hình chiếu: từ phía trước, từ bên cạnh và từ trên xuống.



Hình chiếu bằng; hình chiếu cạnh; hình chiếu đứng:



Một vật có hình chiếu bằng và hình chiếu đứng như sau:



Ngoài ra, biết rằng vật gồm 13 khối lập phương đơn vị. Các khối này nối thành một khối liền thông qua các mặt kề nhau. Hai khối lập phương kề nhau qua mặt nếu chúng có một mặt chung.

Ví dụ, hình sau thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.



Vẽ tất cả các hình chiếu cạnh có thể của vật này lên phiếu trả lời.

Chú thích chữ trong hình: “top view” là hình chiếu bằng, “side view” là hình chiếu cạnh, “front view” là hình chiếu đứng.