IMSO 2019 — Phần Toán — Tự luận

Năm điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và $E$ nằm trên mặt phẳng sao cho $AB=90$ cm, $BC=45$ cm, $CD=252$ cm, $DE=81$ cm và $EA=36$ cm. Độ dài $CE$ bằng bao nhiêu cm?

Năm 2019, tuổi Peter lớn hơn tổng các chữ số của năm sinh 4 đơn vị. Peter có thể bao nhiêu tuổi (năm 2019)?

Có 23 học sinh trong một phòng. Các em 10, 11, 12 hoặc 13 tuổi, và mỗi độ tuổi có ít nhất một em. Tổng tuổi là 253; số học sinh 12 tuổi gấp 1,5 lần số học sinh 13 tuổi. Có bao nhiêu học sinh 10 tuổi?

Ông Nam có 10 khối hộp chữ nhật: một khối kích thước $2\text{ cm}\times2\text{ cm}\times2\text{ cm}$, ba khối $1\text{ cm}\times1\text{ cm}\times2\text{ cm}$ và sáu khối $1\text{ cm}\times1\text{ cm}\times1\text{ cm}$. Ông muốn dùng một số khối để tạo khối hộp chữ nhật lớn hơn. Diện tích toàn phần lớn nhất của khối mới bằng bao nhiêu cm²?

Xét các cách xếp $n$ hình tròn giống nhau, không chồng lên nhau, thành ít nhất hai hàng. Mỗi hình tròn phải tiếp xúc hình kế tiếp trong cùng hàng, và mỗi hình trừ những hình ở hàng dưới cùng phải tiếp xúc hai hình ở hàng ngay dưới. Ví dụ có 7 cách xếp với $n=6$ như hình dưới.



Vẽ mọi cách xếp với $n=8$.

Mỗi ô vuông nhỏ trong bảng $6\times6$ được điền một số trong 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho mỗi hàng hoặc cột chứa sáu số khác nhau. Một số ô đã điền như hình. Có bao nhiêu bảng hoàn chỉnh khác nhau?

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $n!+2019$ là số chính phương (trong đó $n!$ là tích mọi số nguyên từ 1 đến $n$).

Trong hình dưới, $ABCD$ là hình thang và $E$ là trung điểm $DC$. Diện tích các tam giác $ABG$, $ABF$ và $AGE$ lần lượt là 15 cm², 45 cm² và 60 cm². Diện tích hình thang $ABCD$ bằng bao nhiêu cm²?

Ông Nobi dùng giấy kẻ ô vuông $ABCD$ như hình để gấp phong bì.



Ông gấp như sau:
1) Gấp $D$ đến $F$;
2) Gấp $E$ đến $I$ và $G$ đến $K$;
3) Gấp $A$ đến $M$ và $B$ đến $N$;
4) Gấp $O$ đến $L$ và $P$ đến $L$;
5) Gấp $Q$ đến $R$.
Biết $AB=12$ cm, diện tích phong bì nhận được bằng bao nhiêu cm²?
Vẽ phong bì nhận được.

Có thể bỏ nhiều nhất bao nhiêu chữ số khỏi số có 1000 chữ số 20192019…2019 để tổng các chữ số còn lại bằng 2019? Số nhận được lớn nhất là số nào?

Một giải bóng đá có 8 đội, mỗi đội gặp mỗi đội khác một lần. Thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Sau khi mỗi đội chơi đúng 5 trận, cả 8 đội có số điểm khác nhau. Biết có 6 trận hòa trong các trận đã chơi, và đội hiện xếp thứ ba có 10 điểm. Đội hiện xếp thứ sáu có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm?

Có bốn hình vuông ký hiệu $I$, $M$, $S$ và $O$ như hình. Mỗi đỉnh được tô một trong ba màu: xanh lam, đỏ, vàng. Một cách tô được gọi là “chẵn” nếu trong mỗi hình vuông,4 đỉnh được tô đúng hai màu, sao cho 2 đỉnh cùng màu và 2 đỉnh còn lại cùng màu kia. Có bao nhiêu cách tô chẵn khác nhau?

Laila, Mary và Nelly thay phiên lấy hạt trong hộp theo mẫu tăng dần: Laila lấy 1 hạt, Mary lấy 2, Nelly lấy 3, rồi Laila lấy 4, Mary lấy 5, Nelly lấy 6, tiếp đó Laila lấy 7, và cứ thế. Khi số hạt còn lại ít hơn số cần lấy ở lượt kế tiếp, tất cả hạt đó thuộc về cô gái ở lượt ngay trước. Cuối cùng Laila nhận tổng cộng 2019 hạt. Ban đầu hộp có bao nhiêu hạt?