Vào năm 2017, tuổi của Alex bằng tổng tất cả các chữ số của năm sinh cậu và tuổi của mẹ cậu cũng bằng tổng tất cả các chữ số của năm sinh bà. Mẹ Alex bao nhiêu tuổi khi sinh Alex?
Tất cả các số nguyên dương từ 1 đến 10,000 được sắp xếp theo các quy tắc sau:
- Hàng thứ nhất chứa tất cả các số nguyên có tổng các chữ số bằng 1.
- Hàng thứ hai chứa tất cả các số nguyên có tổng các chữ số bằng 2.
- Hàng thứ ba chứa tất cả các số nguyên có tổng các chữ số bằng 3.
- ....
- Các số nguyên trong mỗi hàng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
- Sau đó các hàng này được xếp lại thành một hàng sao cho số đầu tiên của hàng thứ hai đứng sau số cuối cùng của hàng thứ nhất; số đầu tiên của hàng thứ ba đứng sau số cuối cùng của hàng thứ hai;... và cứ tiếp tục như vậy.
Số 9799 là số hạng thứ bao nhiêu trong cách sắp xếp cuối cùng?
Một hình thang có ba cạnh bằng nhau và đáy còn lại ngắn hơn tổng ba cạnh này 2 cm. Nếu khoảng cách giữa hai cạnh song song là 5 cm, tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của hình thang.
Một hộp chứa một số bóng đỏ và bóng xanh. Ít nhất 90% số bóng là màu đỏ. Ban đầu Peter lấy bóng ra khỏi hộp từng quả một. Trong 50 quả đầu tiên cậu lấy ra, chỉ có một quả màu xanh. Sau đó, mỗi lần cậu lấy ra 8 quả, gồm một quả xanh và 7 quả đỏ. Cậu tiếp tục như vậy cho đến khi trong hộp còn ít hơn 8 quả bóng. Tìm số bóng lớn nhất mà hộp có thể chứa lúc đầu.
Hình vuông $ABCD$ có cạnh dài 12 cm. Tâm hình vuông là $O$, và $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của $OA$, $OB$, $OC$, $OD$. Tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của phần tô đậm.
Cindy dùng bút đỏ và bút xanh lá để viết tất cả các số nguyên dương có 3 chữ số theo thứ tự tăng dần. Tất cả các số chẵn được viết màu đỏ và tất cả các số lẻ được viết màu xanh lá. Có bao nhiêu chữ số ‘6’ được viết màu đỏ?
Mỗi mặt của một hình lập phương được chia thành bốn ô vuông nhỏ bằng nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được tô bằng một trong ba màu khác nhau có sẵn. Các ô vuông nhỏ có chung cạnh được tô bằng các màu khác nhau. Số ô vuông nhỏ nhiều nhất có thể được tô cùng một màu là bao nhiêu?
Tam giác $ABC$ là tam giác cân với $AC=BC$. Điểm $H$ nằm trên $AB$ sao cho $CH$ vuông góc với $AB$, và đường phân giác của $\angle CAB$ cắt $BC$ tại điểm $P$. Nếu $AP=2CH$, tìm số đo, tính bằng độ, của $\angle ACB$.
Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình thang có $AD$ song song với $BC$. Các điểm $P$, $A$, $D$ nằm trên một đường thẳng. Các điểm $B$, $C$, $Q$ cũng nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng $PQ$ cắt $AB$, $BD$, $AC$, $CD$ lần lượt tại $K$, $L$, $M$, $N$, sao cho $PK=KL=LM=MN=NQ$. Nếu $AD=20$ cm, độ dài, tính bằng cm, của $BC$ là bao nhiêu?
Hình bên trái là một bảng ô vuông $3\times2$ có 12 điểm lưới. Chọn ba điểm lưới để tạo thành một tam giác vuông. Hình bên phải thể hiện hai tam giác vuông như vậy. Có thể tạo được bao nhiêu tam giác vuông trong hình bên trái?
Một hình vuông được vẽ trên mặt phẳng. Mary chọn một điểm P trên mặt phẳng này nhưng giữ bí mật vị trí của nó. Bạn có thể vẽ bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng và Mary sẽ cho biết P nằm về một phía hay phía kia của đường thẳng, hoặc nằm trên chính đường thẳng đó. Câu trả lời được đưa ra ngay sau khi mỗi đường thẳng được vẽ. Bất kể vị trí điểm Mary chọn, bạn phải vẽ ít nhất bao nhiêu đường thẳng để biết P nằm trong, ngoài hay trên các cạnh của hình vuông? Giải thích câu trả lời.
Tô bốn đỉnh của một hình lập phương màu trắng và bốn đỉnh màu đen sao cho với bất kỳ mặt phẳng nào đi qua ba đỉnh cùng màu, mặt phẳng ấy phải có một đỉnh thứ tư mang màu còn lại.
Hình dưới đây gồm bốn đường tròn giao nhau tạo thành 8 miền. Các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 được đặt vào các miền, mỗi số được dùng đúng một lần. Mỗi miền phải chứa một số sao cho tổng ba số trong mỗi đường tròn trong bốn đường tròn là như nhau. Các lời giải thu được bằng cách phản chiếu hoặc quay hình được xem là giống nhau. Tìm tất cả các lời giải có thể.
Một bộ bài gồm $n$ lá bài khác nhau. Một lần chuyển gồm việc lấy ra một chồng các lá bài liên tiếp trong bộ rồi đặt nguyên chồng đó vào một vị trí khác trong bộ bài mà không lật bất kỳ lá nào hoặc thay đổi thứ tự các lá trong chồng. Bạn cần đảo ngược thứ tự ban đầu của các lá trong bộ bài bằng những lần chuyển như vậy. Số lần chuyển ít nhất cần có là bao nhiêu nếu
Các hình ghép lục giác được tạo thành bằng cách ghép những hình lục giác đều giống nhau có cạnh dài 1 cm theo các cạnh của chúng. Các hình dưới đây là một số ví dụ.
Trong các hình, “Perimeter” nghĩa là “Chu vi”: lần lượt là 10 cm, 12 cm và 14 cm.
Nếu những hình ghép thu được bằng cách phản chiếu hoặc quay hình được xem là giống nhau, hãy vẽ tất cả những hình ghép lục giác khác nhau có thể có với chu vi 18 cm vào phiếu trả lời được cung cấp.
Trò chơi Battleship được chơi trên một bảng $10\times10$, với một thiết giáp hạm $1\times4$, hai tuần dương hạm $1\times3$, ba khu trục hạm $1\times2$ và bốn tàu ngầm $1\times1$. Các tàu được đặt trên bảng sao cho không có hai tàu nào chung cạnh hoặc chung đỉnh. Tuy nhiên, các tàu có thể chạm mép bảng. Trên bảng được cung cấp trong phiếu trả lời, hãy tô một cách bố trí hai tuần dương hạm $1\times3$, ba khu trục hạm $1\times2$ và bốn tàu ngầm $1\times1$ sao cho không thể đặt thêm một thiết giáp hạm $1\times4$ lên bảng.
Trong hình, “battleship” là “thiết giáp hạm”, “cruiser” là “tuần dương hạm”, “destroyer” là “khu trục hạm” và “submarine” là “tàu ngầm”.
