IMSO 2017 — Toán học — Khám phá

Tô bốn đỉnh của một hình lập phương màu trắng và bốn đỉnh màu đen sao cho với bất kỳ mặt phẳng nào đi qua ba đỉnh cùng màu, mặt phẳng ấy phải có một đỉnh thứ tư mang màu còn lại.

Hình dưới đây gồm bốn đường tròn giao nhau tạo thành 8 miền. Các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 được đặt vào các miền, mỗi số được dùng đúng một lần. Mỗi miền phải chứa một số sao cho tổng ba số trong mỗi đường tròn trong bốn đường tròn là như nhau. Các lời giải thu được bằng cách phản chiếu hoặc quay hình được xem là giống nhau. Tìm tất cả các lời giải có thể.

Bảng dưới đây cho biết thời gian di chuyển (tính bằng giờ) giữa thủ đô của một quốc gia và bốn thành phố khác A, B, C, D.

| | Thủ đô | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|---|
| Thủ đô | 0 | 12 | 25 | 8 | 9 |
| A | | 0 | 27 | 15 | 12 |
| B | | | 0 | 20 | 8 |
| C | | | | 0 | 19 |
| D | | | | | 0 |

Ví dụ, đi từ thành phố A đến thành phố B mất 27 giờ. Đi từ thành phố B đến thành phố A cũng mất 27 giờ.

Ông Soh đang ở Thủ đô muốn đến thăm mỗi thành phố đúng một lần rồi trở về Thủ đô. Thời gian ngắn nhất có thể cho chuyến đi của ông là bao nhiêu?

Một bộ bài gồm $n$ lá bài khác nhau. Một lần chuyển gồm việc lấy ra một chồng các lá bài liên tiếp trong bộ rồi đặt nguyên chồng đó vào một vị trí khác trong bộ bài mà không lật bất kỳ lá nào hoặc thay đổi thứ tự các lá trong chồng. Bạn cần đảo ngược thứ tự ban đầu của các lá trong bộ bài bằng những lần chuyển như vậy. Số lần chuyển ít nhất cần có là bao nhiêu nếu

(i) $n=5$
(ii) $n=9$
(iii) $n=13$

Các hình ghép lục giác được tạo thành bằng cách ghép những hình lục giác đều giống nhau có cạnh dài 1 cm theo các cạnh của chúng. Các hình dưới đây là một số ví dụ.







Trong các hình, “Perimeter” nghĩa là “Chu vi”: lần lượt là 10 cm, 12 cm và 14 cm.

Nếu những hình ghép thu được bằng cách phản chiếu hoặc quay hình được xem là giống nhau, hãy vẽ tất cả những hình ghép lục giác khác nhau có thể có với chu vi 18 cm vào phiếu trả lời được cung cấp.

Trò chơi Battleship được chơi trên một bảng $10\times10$, với một thiết giáp hạm $1\times4$, hai tuần dương hạm $1\times3$, ba khu trục hạm $1\times2$ và bốn tàu ngầm $1\times1$. Các tàu được đặt trên bảng sao cho không có hai tàu nào chung cạnh hoặc chung đỉnh. Tuy nhiên, các tàu có thể chạm mép bảng. Trên bảng được cung cấp trong phiếu trả lời, hãy tô một cách bố trí hai tuần dương hạm $1\times3$, ba khu trục hạm $1\times2$ và bốn tàu ngầm $1\times1$ sao cho không thể đặt thêm một thiết giáp hạm $1\times4$ lên bảng.





Trong hình, “battleship” là “thiết giáp hạm”, “cruiser” là “tuần dương hạm”, “destroyer” là “khu trục hạm” và “submarine” là “tàu ngầm”.