IMSO 2017 — Toán học — Trả lời ngắn

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho ba số: $n-96$, $n$ và $n+96$ đều là các số nguyên tố dương.

Hình dưới đây gồm năm đường tròn tiếp xúc với nhau tại các điểm $B$, $C$, $D$ và $E$. Các điểm $A$ và $B$ là hai điểm khác nhau trên đường tròn ngoài cùng bên trái. Các điểm $E$ và $F$ là hai điểm khác nhau trên đường tròn ngoài cùng bên phải. Một con kiến muốn bò từ $A$ đến $F$ dọc theo một phần chu vi của các đường tròn. Nếu con kiến chỉ được bò trên mỗi phần chu vi của các đường tròn nhiều nhất một lần, có bao nhiêu đường đi mà con kiến có thể chọn để bò từ $A$ đến $F$?

Alex đã tiêu tổng cộng 119 đô-la trong 7 ngày. Mỗi ngày, cậu tiêu nhiều hơn ngày trước 4 đô-la. Alex đã tiêu bao nhiêu vào ngày thứ 6?

Một dãy số được cộng theo cách sau:
Ví dụ, với dãy $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,\ldots\}$, trước hết tất cả các số trong dãy được viết thành các số thập phân như dưới đây rồi cộng lại với nhau.

$$\begin{array}{r}0.1\\0.02\\0.003\\0.0004\\0.00005\\0.000006\\0.0000007\\0.00000008\\0.000000009\\0.0000000010\\0.00000000011\\0.000000000012\\+\quad\vdots\\\hline0.123456790123\ldots\end{array}$$

Kết quả bằng bao nhiêu khi dãy $\{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117,\ldots\}$ được cộng theo cùng cách?

Một số nguyên dương là số may mắn nếu mỗi chữ số trong biểu diễn hệ thập phân của nó, bắt đầu từ chữ số ngoài cùng bên trái, không lớn hơn chữ số bên phải nó. Ví dụ, 79, 335 và 679 là các số may mắn nhưng 41, 523 và 786 thì không. Một số siêu may mắn là một số may mắn có chữ số hàng đơn vị là 8 và bình phương của nó cũng là số may mắn. Tìm số siêu may mắn nhỏ nhất.

Vào thứ Hai, Harry, Larry và Parry mỗi người được cho một số viên bi.

Vào thứ Ba, Harry cho Larry và Parry một số viên bi để số bi của Larry và Parry mỗi người đều gấp 4 lần số bi ban đầu của mình.

Vào thứ Tư, Larry cho Harry và Parry một số viên bi để số bi của Harry và Parry mỗi người đều gấp 3 lần số bi mình có vào thứ Ba.

Vào thứ Năm, Parry cho Harry và Larry một số viên bi để số bi của Harry và Larry mỗi người đều gấp đôi số bi mình có vào thứ Tư.

Nếu đến thứ Năm Harry, Larry và Parry mỗi người có 48 viên bi, thì Parry có bao nhiêu viên bi vào thứ Hai?

Lập các số có 9 chữ số, sử dụng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 đúng một lần. Gọi $A$ và $B$ là hai số như vậy với $B=8A$. Tìm tổng các chữ số của số $A+B$.

Các đường thẳng được dùng để chia một hình vuông thành những miền giống hệt nhau như hình bên phải. Có bao nhiêu tam giác trong hình?

Một nhà điêu khắc muốn tạc một bức tượng từ một khối đá cẩm thạch. Trong tuần thứ nhất, nhà điêu khắc đục bỏ 35% khối đá cẩm thạch ban đầu. Trong tuần thứ hai, ông đục bỏ 20% phần còn lại, và trong tuần thứ ba, ông đục bỏ 25% khối còn lại để hoàn thành bức tượng. Khối lượng bức tượng hoàn thành là 48.75 kg. Khối đá cẩm thạch ban đầu nặng bao nhiêu kg?

Tìm số nguyên dương có 10 chữ số lớn nhất chia hết cho 36 và trong đó mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện đúng một lần.

Jack muốn leo lên một cầu thang có 26 bậc. Mỗi lần di chuyển, cậu chỉ được bước lên 2 hoặc 4 bậc. Có bao nhiêu cách để cậu lên đến đỉnh cầu thang sau đúng 8 lần di chuyển?

Cần trừ số nào khỏi tử số của phân số $\frac{537}{463}$ và cộng vào mẫu số để phân số nhận được bằng $\frac19$?

Trong hình dưới đây, $H$, $I$, $J$, ..., $Q$ và $R$ là 11 điểm trên đường tròn sao cho $HI=IJ=JK=KL=LM$ và $NO=OP=PQ=QR$. Nếu $HM$ là đường kính của đường tròn, hãy tìm tổng số đo, tính bằng độ, của $\angle HRI$, $\angle IQJ$, $\angle JPK$, $\angle KOL$ và $\angle LNM$.

Một số đối xứng là một số không thay đổi khi các chữ số của nó được viết theo thứ tự ngược lại. Ví dụ, 131 là một số đối xứng. Đồng hồ đo quãng đường của một ô tô chỉ 16961 km. Ô tô phải đi thêm bao nhiêu kilômét để đồng hồ chỉ số đối xứng tiếp theo?

Nếu $\overline{abcdef}$ biểu diễn một số có 6 chữ số, trong đó $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ và $f$ là các chữ số khác nhau, thì giá trị lớn nhất có thể của $\overline{abc}+\overline{bcd}+\overline{cde}+\overline{def}$ là bao nhiêu?

Alvin và Charles cùng đi bộ từ thị trấn $Q$ đến thị trấn $M$ với vận tốc lần lượt là 4.8 km/h và 5.4 km/h. Bob đạp xe từ thị trấn $M$ đến thị trấn $Q$ với vận tốc 10.8 km/h. Nếu cả ba khởi hành cùng lúc, Alvin sẽ gặp Bob sau khi Charles gặp Bob 5 phút. Bob sẽ mất bao nhiêu phút để đi từ thị trấn $M$ đến thị trấn $Q$?

Trong hình dưới đây, hình vuông $AEJH$ và hình vuông $FCGL$ chồng lên nhau tạo thành hình vuông tô đậm $KJIL$. Diện tích $KJIL$ bằng $\frac14$ diện tích $FCGL$ và bằng $\frac49$ diện tích $AEJH$. Phần tô đậm chiếm bao nhiêu phần diện tích hình vuông $ABCD$?

Trong hình dưới đây, $D$ là một điểm trên đường thẳng $AC$ sao cho $BD$ vuông góc với $AC$. Điểm $E$ nằm trên đường thẳng $BC$ sao cho $AB$ song song với $DE$. Diện tích tam giác $CDE$ là 9 $\mathrm{cm}^2$. Biết $BD=8$ cm và $DC=6$ cm, tìm độ dài, tính bằng cm, của $AD$.

$A$, $B$ và $C$ là các số nguyên dương. Tổng của 160 và bình phương của $A$ bằng tổng của 5 và bình phương của $B$. Tổng của 320 và bình phương của $A$ bằng tổng của 5 và bình phương của $C$. Tìm số nguyên dương $A$.

Tám số nguyên dương được xếp thành một hàng như dưới đây.
$$2017,\ a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g$$
Bắt đầu từ $b$, mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng trước. Nếu hiệu giữa $f$ và $g$ là 1, giá trị nhỏ nhất có thể của $a$ là bao nhiêu?