Al sống ở Alton, Ben sống ở Benburg cách đó 12 km. Họ muốn đến Centreville, cách Alton 30 km và cách Benburg 20 km. Ben nhờ Al đi taxi từ Alton đến Benburg đón mình rồi cùng đi Centreville. Giá taxi là 1000 rupiah mỗi km. Ben trả phần tiền do quãng đường đi vòng tăng thêm và chia đôi phần tiền còn lại với Al. Ben tiết kiệm được bao nhiêu tiền khi đi chung taxi với Al?
Alice và Brian mỗi người có một số con bò. Alice nói với Brian: “Nếu cộng ba lần số bò của bạn vào số bò của mình thì mình hài lòng.” Brian đáp: “Nếu cộng năm lần số bò của bạn vào số bò của mình thì mình hài lòng.” Nếu số bò khiến hai người hài lòng là như nhau, giá trị nhỏ nhất của số đó là bao nhiêu?
Ban đầu, một robot quay mặt về hướng bắc. Mỗi khi dừng di chuyển, robot tự động quay mặt về hướng bắc. Robot được lập trình thực hiện:
(1) Quay phải $30^\circ$, đi thẳng $1$ km rồi dừng.
(2) Quay phải $90^\circ$, đi thẳng $1$ km rồi dừng.
(3) Quay phải $150^\circ$, đi thẳng $1$ km rồi dừng.
(4) Quay phải $210^\circ$, đi thẳng $1$ km rồi dừng.
(5) Quay phải $270^\circ$, đi thẳng $1$ km rồi dừng.
(6) Quay phải $330^\circ$, đi thẳng $1$ km rồi dừng.
Khoảng cách giữa vị trí ban đầu và vị trí cuối cùng của robot là bao nhiêu?
Holly kiếm được 67510 rupiah mỗi giờ, Molly kiếm được 32490 rupiah mỗi giờ. Hai người kiếm được tổng cộng 267510 rupiah. Nếu Holly làm số giờ mà Molly đã làm, còn Molly làm số giờ mà Holly đã làm, thì tổng thu nhập là 232490 rupiah. Mỗi người đã làm bao nhiêu giờ?
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=25$ cm và $BC=30$ cm. Điểm $M$ trên $AD$ thỏa mãn $\frac{AM}{AD}=\frac13$, điểm $N$ trên đường chéo $AC$ thỏa mãn $\frac{AN}{AC}=\frac35$. Diện tích tam giác $BMN$, tính bằng cm², là bao nhiêu?
Cho $A,B,C,D$ là bốn số nguyên dương khác nhau sao cho tổng hai số bất kỳ chia hết cho $2$, tổng ba số bất kỳ chia hết cho $3$. Giá trị nhỏ nhất của tổng $A+B+C+D$ là bao nhiêu?
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $10$ cm. Các điểm $E,F,G,H$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$, sao cho $EG$ song song với $AD$ và $FH$ song song với $AB$. Điểm $P$ trên $AE$ thỏa mãn $PE=2$ cm, điểm $Q$ trên $DH$ thỏa mãn $HQ=3$ cm. Diện tích tứ giác $PFGQ$, tính bằng cm², là bao nhiêu?
Mỗi số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ được điền vào một ô vuông khác nhau đúng một lần trong biểu thức dưới đây. $$\square+\frac1{\square+\frac1\square}+\square+\frac1{\square+\frac1\square}+\square+\frac1{\square+\frac1\square}.$$ Giá trị lớn nhất của biểu thức là bao nhiêu?
Trong tam giác $ABC$, $AD$ và $BE$ là các đường cao, $AP$ và $BQ$ là các đường phân giác tại $A$ và $B$, với $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên $CD$ và $CE$. Nếu $\angle PAD=6^\circ$ và $\angle QBE=18^\circ$, thì số đo theo độ của $\angle BCA$ bằng bao nhiêu?
Một số có 2014 chữ số là số nguyên dương nhỏ nhất có số chữ số như vậy sao cho khi nhân với 3, mọi chữ số của tích đều chẵn. Chữ số 3 xuất hiện bao nhiêu lần trong số ban đầu?
Có $18$ người dự tiệc. Mỗi người bắt tay ít nhất một người khác, và không cặp nào bắt tay quá một lần. Nếu $X$ bắt tay với $Y$ thì $X$ không bắt tay với bất kỳ ai đã bắt tay với $Y$. Nếu $X$ không bắt tay với $Y$ thì $X$ bắt tay với tất cả những người đã bắt tay với $Y$. Số lần bắt tay lớn nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu?
Một nông trại hình chữ nhật dài $112$ m, rộng $75$ m được chia thành $13$ thửa ruộng hình vuông như hình dưới. Thửa ở góc dưới bên phải có cạnh $33$ m. Một con đường thẳng là ranh giới của một số thửa và cắt ngang hai thửa khác theo các đoạn nét đứt. Độ dài cạnh mỗi thửa, tính bằng mét, là bao nhiêu?
Mỗi ô trong $36$ ô của bảng $6\times6$ được điền một số $0,1$ hoặc $2$. Sau đó tính tổng sáu số trong từng hàng và từng cột. Hãy điền bảng sao cho số giá trị khác nhau trong $12$ tổng là lớn nhất.
Ở làng Sevenia của Indonesia, mỗi tờ tiền có mệnh giá bằng một lũy thừa của $7$ rupiah, cụ thể là $7^0=1$, $7^2=49$, $7^3=343$, $7^4=2401$, $7^5=16807$, $7^6=117649$, $7^7=823543$, v.v. Một triệu phú có các tờ tiền trị giá tổng cộng đúng $1000000$ rupiah, nhưng mỗi mệnh giá có không quá $8$ tờ. Không có hai triệu phú nào có cùng cách kết hợp các tờ tiền. Số triệu phú lớn nhất ở Sevenia là bao nhiêu?
Một tam giác ma thuật gồm các vòng tròn xếp thành tam giác và được điền các số nguyên liên tiếp bắt đầu từ $0$. Số trong một vòng tròn được đỡ bởi hai vòng tròn phía dưới là số dư khi chia tổng hai số trong hai vòng tròn đỡ cho số vòng tròn của cả tam giác. Ngoài ra, số trong vòng tròn dưới cùng bên trái luôn nhỏ hơn số trong vòng tròn dưới cùng bên phải. Hình dưới minh họa tam giác gồm ba vòng tròn, trong đó phép chia duy nhất $(1+2)\div3$ có số dư $0$.
(a) Viết tất cả các tam giác ma thuật có sáu vòng tròn. (2 điểm)
(b) Viết tất cả các tam giác ma thuật có mười vòng tròn. (4 điểm)
