IMSO 2014 — Phần Toán — Khám phá

Mỗi ô trong $36$ ô của bảng $6\times6$ được điền một số $0,1$ hoặc $2$. Sau đó tính tổng sáu số trong từng hàng và từng cột. Hãy điền bảng sao cho số giá trị khác nhau trong $12$ tổng là lớn nhất.

Ở làng Sevenia của Indonesia, mỗi tờ tiền có mệnh giá bằng một lũy thừa của $7$ rupiah, cụ thể là $7^0=1$, $7^2=49$, $7^3=343$, $7^4=2401$, $7^5=16807$, $7^6=117649$, $7^7=823543$, v.v. Một triệu phú có các tờ tiền trị giá tổng cộng đúng $1000000$ rupiah, nhưng mỗi mệnh giá có không quá $8$ tờ. Không có hai triệu phú nào có cùng cách kết hợp các tờ tiền. Số triệu phú lớn nhất ở Sevenia là bao nhiêu?

Hình dưới cho thấy hai hình liên thông được ghép từ sáu tam giác đều đơn vị, thỏa mãn hai điều kiện sau:

(1) Khi ghép hai tam giác đều, một cạnh của tam giác này phải trùng hoàn toàn với một cạnh của tam giác kia.

(2) Hình cuối cùng phải là một khối liên thông.

Hãy vẽ tất cả những hình khác như vậy.

Viết tất cả các số nguyên dương $n\geq9$ chia hết cho mọi số nguyên dương không lớn hơn $\frac n9$.

Một tam giác ma thuật gồm các vòng tròn xếp thành tam giác và được điền các số nguyên liên tiếp bắt đầu từ $0$. Số trong một vòng tròn được đỡ bởi hai vòng tròn phía dưới là số dư khi chia tổng hai số trong hai vòng tròn đỡ cho số vòng tròn của cả tam giác. Ngoài ra, số trong vòng tròn dưới cùng bên trái luôn nhỏ hơn số trong vòng tròn dưới cùng bên phải. Hình dưới minh họa tam giác gồm ba vòng tròn, trong đó phép chia duy nhất $(1+2)\div3$ có số dư $0$.



(a) Viết tất cả các tam giác ma thuật có sáu vòng tròn. (2 điểm)

(b) Viết tất cả các tam giác ma thuật có mười vòng tròn. (4 điểm)

Ba hình dưới lần lượt được gọi là F, I và W.



(a) Dùng hai bản sao hình F để ghép một hình, rồi dùng hai bản sao hình W để ghép đúng hình đó. Không được chồng lấn. (1 điểm)

(b) Dùng một số bản sao hình F để ghép một hình, rồi dùng cùng số bản sao hình I để ghép đúng hình đó. Không được chồng lấn. (2 điểm)

(c) Dùng một số bản sao hình W để ghép một hình, rồi dùng cùng số bản sao hình I để ghép đúng hình đó. Không được chồng lấn. (3 điểm)