Câu hỏi 6
Giả sử $n \ge 3$ là một số nguyên và xem xét một vòng tròn có $n + 1$ các điểm cách đều nhau được đánh dấu trên đó. Xem xét tất cả các cách gán nhãn cho các điểm này bằng các số $0, 1, \dots , n$ sao cho mỗi nhãn được sử dụng chính xác một lần; hai cách gán nhãn như vậy được coi là giống nhau nếu có thể lấy được nhãn này từ nhãn kia bằng cách quay vòng tròn. Một cách gán nhãn được gọi là *đẹp* nếu, đối với bốn nhãn $a \lt b \lt c \lt d$ bất kỳ với $a + d = b + c$, dây cung nối các điểm được gắn nhãn $a$ và $d$ không giao nhau với dây cung nối các điểm được gắn nhãn $b$ và $c$. Đặt $M$ là số cách gán nhãn đẹp và đặt $N$ là số cặp có thứ tự $(x, y)$ của các số nguyên dương sao cho $x + y \le n$ và $\gcd(x, y) = 1$. Chứng minh rằng $M = N + 1$.