Câu hỏi 5
(NET 3) IMO5. Cho hệ gồm $p$ phương trình
$$\begin{aligned}a_{11}x_1+\cdots+a_{1q}x_q&=0,\\a_{21}x_1+\cdots+a_{2q}x_q&=0,\\&\vdots\\a_{p1}x_1+\cdots+a_{pq}x_q&=0,\end{aligned}$$
có các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn $a_{ij}=-1,0$ hoặc $+1$ với mọi $i=1,\ldots,p$ và $j=1,\ldots,q$. Chứng minh rằng nếu $q=2p$ thì hệ có một nghiệm $x_1,\ldots,x_q$ sao cho mọi $x_j$ ($j=1,\ldots,q$) là số nguyên thỏa mãn $|x_j|\le q$ và $x_j\ne0$ với ít nhất một chỉ số $j$.
$$\begin{aligned}a_{11}x_1+\cdots+a_{1q}x_q&=0,\\a_{21}x_1+\cdots+a_{2q}x_q&=0,\\&\vdots\\a_{p1}x_1+\cdots+a_{pq}x_q&=0,\end{aligned}$$
có các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn $a_{ij}=-1,0$ hoặc $+1$ với mọi $i=1,\ldots,p$ và $j=1,\ldots,q$. Chứng minh rằng nếu $q=2p$ thì hệ có một nghiệm $x_1,\ldots,x_q$ sao cho mọi $x_j$ ($j=1,\ldots,q$) là số nguyên thỏa mãn $|x_j|\le q$ và $x_j\ne0$ với ít nhất một chỉ số $j$.