Trên một đồng hồ kim, kim giờ dài 5 cm và kim phút dài 10 cm. Hiện tại là 6:00. Sau $x$ phút, kim giờ và kim phút tạo thành hai trong ba cạnh của một tam giác vuông (cạnh thứ ba là đoạn thẳng nối hai đầu kim). Nếu $0<x<60$, có bao nhiêu giá trị có thể có của $x$?
Alice, Betty, Carl, David và Elva học cùng trường. Khi đi một mình, mỗi người đi với vận tốc 2,0 m/s. Khi đi theo nhóm, vận tốc phụ thuộc vào số người: nhóm hai người đi 1,5 m/s, nhóm ba người đi 1,0 m/s và nhóm bốn người đi 0,5 m/s. Một hôm, Alice và Betty cùng rời trường lúc 16:00:00, Carl lúc 16:01:00, David lúc 16:02:00 và Elva lúc 16:03:00. Họ đi cùng hướng trên một con đường thẳng; khi một người đuổi kịp người khác thì lập tức nhập nhóm. Khi cả năm người gặp nhau, họ cách trường bao nhiêu mét?
Như hình dưới đây, trong tam giác $ABC$, các đoạn thẳng $AD$, $BE$ và $CF$ kẻ từ các đỉnh đồng quy tại $O$. Nếu $\frac{EO}{EB}=\frac14$ và $\frac{FO}{FC}=\frac25$, giá trị của $\frac{DO}{DA}$ là bao nhiêu?
Có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số nguyên từ hai mươi số $\{1,2,3,\ldots,20\}$ sao cho tổng của hai số được chọn phân biệt bất kỳ không nằm trong các số được chọn?
Như hình dưới đây, tam giác $ABC$ có $\angle ABC>\angle BAC=60^\circ$, $AB=1$ cm và $AC=2\sqrt3$ cm. Đường trung trực của $AC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $M$. Độ dài $MB$ bằng bao nhiêu xentimét?
Như hình dưới đây, $ABCD$ là tứ giác lồi có hai đường chéo cắt nhau tại $P$. Tổng diện tích hai tam giác $PAB$ và $PCD$ bằng tổng diện tích hai tam giác $PAD$ và $PCB$. Nếu $Q$ là trung điểm của $AC$ và $Q$ không trùng $P$, giá trị của $\frac{BP}{DP}$ là bao nhiêu?
Mỗi đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên một cạnh khác nhau của hình vuông $9\text{ cm}\times9\text{ cm}$, như hình. Chu vi nhỏ nhất của tứ giác bằng bao nhiêu xentimét?
Một dãy gồm sáu số nguyên dương phân biệt xếp theo thứ tự tăng nghiêm ngặt, trong đó mỗi số (trừ số đầu tiên) là bội của số đứng ngay trước. Nếu tổng sáu số bằng 111, giá trị nhỏ nhất có thể của số lớn nhất trong dãy là bao nhiêu?
Alex có một con xúc xắc 10 mặt ghi các số $1,2,\ldots,10$. Xác suất xuất hiện mỗi mặt tỉ lệ với số ghi trên mặt đó, nghĩa là các xác suất có tỉ số $1:2:3:4:5:6:7:8:9:10$. Alex gieo xúc xắc hai lần. Xác suất tổng hai kết quả bằng 9 là bao nhiêu?
Có $k$ số nguyên dương, không nhất thiết phân biệt, trong đó có một số bằng 26. Nếu tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1, giá trị nhỏ nhất của $k$ là bao nhiêu?
Có $k$ số nguyên dương phân biệt được xếp thành một vòng tròn sao cho tích của hai số kề nhau bất kỳ nhỏ hơn 2026. Giá trị lớn nhất của $k$ là bao nhiêu?
Một số chính phương lớn hơn 1 được gọi là “số tốt” nếu nó biểu diễn được thành tổng các số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ 1. Chẳng hạn, 36 là số tốt vì $36=6^2=1+2+3+4+5+6+7+8$. Kể cả 36, có bao nhiêu số tốt không vượt quá 2025?
Xét lưới $5\times4$ có một hình vuông đen $2\times2$ đặt sẵn ở góc trên bên trái, như hình bên trái dưới đây. Cần đặt năm hình chữ nhật $1\times2$ lên các ô còn trống. Tất cả hình chữ nhật phải nằm ngang (không được xoay), có cạnh trùng đường lưới, không chồng lên nhau và không phủ ô đen nào. Hình bên phải minh họa một cách đặt hợp lệ. Có bao nhiêu cách đặt như vậy, kể cả cách minh họa?
