IMAS 2025–2026 — Cấp Junior — Vòng 2

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2$ và $0\lt a\lt b\lt c$. Bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ được gọi là bộ ba Pythagore. Ví dụ, $(3,4,5)$ là một bộ ba Pythagore. Có bao nhiêu bộ ba Pythagore $(a,b,c)$ thỏa mãn $a+b+c=120$?

Cho hai đường tròn không giao nhau $O_1,O_2$ có bán kính lần lượt là các số nguyên $R,r$ (cm), với $R\gt r$. Khoảng cách $d$ (cm) giữa hai tâm cũng là số nguyên. Mỗi đoạn tiếp tuyến chung ngoài dài $\sqrt{504}$ cm và mỗi đoạn tiếp tuyến chung trong dài $\sqrt{408}$ cm. Tính $d$.

Xét dãy các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với 210, được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Số hạng thứ 2026 của dãy là bao nhiêu?

Trong trò chơi lễ hội Break-A-Plate (Ném vỡ đĩa), người chơi đứng từ xa ném năm quả bóng mềm vào các đĩa. Nếu làm vỡ đĩa trong hai lần ném liên tiếp bất kỳ trong năm lần ném, người chơi sẽ nhận được giải thưởng.



Giả sử ở mỗi lần ném, Charlie có xác suất $\frac23$ làm vỡ đĩa và các lần ném độc lập với nhau. Xác suất Charlie nhận được giải thưởng là bao nhiêu?

Học sinh được chia thành nhiều đội để tham gia một cuộc thi ở hai hội trường khác nhau. Có 120 học sinh có đúng hai đồng đội ở hội trường còn lại; 160 học sinh có ít nhất một đồng đội khác ở mỗi hội trường; và không có ba học sinh cùng đội nào ở cùng một hội trường. Có bao nhiêu học sinh có đúng một đồng đội khác ở mỗi hội trường?

Xóa các chữ số 0 tận cùng của $2025!$ và $2026!$, thu được lần lượt các số $A,B$. Gọi $a,b$ lần lượt là số dư khi chia $A,B$ cho 100. Tính $|a-b|$.

Cho điểm $P$ trên trục $x$ sao cho $\angle MPN$ đạt giá trị lớn nhất có thể, với $M=(-2,4)$ và $N=(2,8)$. Hoành độ của $P$ bằng bao nhiêu?

Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac1a+\frac1b\gt \frac15$, $a\ge6$ và $b\ge6$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $\frac1a+\frac1b$ là bao nhiêu?

Như hình dưới đây, $AK,BL,CM$ là các đường phân giác của tam giác $ABC$, với $K$ thuộc cạnh $BC$. Các điểm $P,Q$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BL,CM$ sao cho $AP=PK$ và $AQ=QK$. Biết $\angle BAC=26^\circ$, hãy tính số đo theo độ của $\angle PAQ$.

Trong không gian ba chiều, $ABC$ là tam giác đều cạnh 1 cm. Cho điểm $D$ trong không gian sao cho $AD=10$ cm và độ dài $BD,CD$ tính bằng cm đều là số nguyên. Tính tổng độ dài $BD+CD$ theo cm.

Số nguyên dương $y$ nhỏ nhất để $2026y^2+1$ là số chính phương bằng bao nhiêu?

Mỗi số nguyên dương $n$ có thể được viết duy nhất thành tổng của một hay nhiều số Fibonacci không liên tiếp $F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_5=5,\ldots$, không dùng $F_0,F_1$. Ví dụ, $30=1+8+21=F_2+F_6+F_8$. Gọi $a_n$ là số số hạng trong biểu diễn Fibonacci của $n$; chẳng hạn $a_{30}=3$. Tính $a_1+a_2+\cdots+a_{54}$.

Có bao nhiêu tập con khác rỗng của $\{1,2,3,\ldots,11\}$ không chứa hai số liên tiếp?

Như hình dưới đây, $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $M$. Gọi $N$ là trung điểm cung $AD$. Các điểm $P,Q$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABM,CDM$. Biết $PN=3\sqrt3$ cm, hãy tính độ dài $QN$ theo cm. Trình bày lời giải chi tiết.

Năm thẻ mang các số từ 1 đến 5 được xếp ngẫu nhiên thành một hàng. Ta sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần bằng thuật toán “sắp xếp nổi bọt” (Bubble Sort): bắt đầu từ bên trái, so sánh hai thẻ kề nhau đầu tiên và đổi chỗ nếu thẻ bên trái lớn hơn; sau đó dịch sang phải một vị trí và lặp lại cho đến cuối hàng. Lặp lại quy trình từ đầu cho đến khi các thẻ được sắp xếp hoàn toàn.
Đếm mọi lần đổi chỗ trong toàn bộ quá trình. Ví dụ, $(4,5,3,2,1)$ cần 9 lần đổi chỗ:
$$(4,5,3,2,1)\to(4,3,5,2,1)\to(4,3,2,5,1)\to(4,3,2,1,5)$$
$$\to(3,4,2,1,5)\to(3,2,4,1,5)\to(3,2,1,4,5)\to(2,3,1,4,5)$$
$$\to(2,1,3,4,5)\to(1,2,3,4,5).$$
Có bao nhiêu cách xếp ban đầu cần đúng 5 lần đổi chỗ để sắp xếp hoàn toàn? Trình bày lời giải chi tiết.