AMC 12B năm 2016

Giá trị của là gì

$$
\frac{2a^{-1}+\frac{a^{-1}}{2}}{a}
$$

khi $a=\tfrac12?$

Hài trung bình cộng của hai số có thể được tính bằng tích hai lần chia cho tổng của chúng. Hàm số trung bình cộng của $1$ và $2016$ gần nhất với số nguyên nào?

Đặt $x=-2016.$ Giá trị của

$$
\Big|\;\big|\,|x|-x\,\big|-|x|\;\Big|-x?
$$

Tỉ số của hai góc nhọn là $5:4,$ và phần bù của một trong hai góc này lớn gấp đôi phần bù của góc kia. Tổng số đo độ của hai góc là bao nhiêu?

Cuộc chiến $1812$ bắt đầu bằng lời tuyên chiến vào Thứ Năm, tháng 6 $18,$ $1812.$ Hiệp ước hòa bình chấm dứt chiến tranh được ký kết $919$ vài ngày sau, vào tháng 12 $24,$ $1814.$ Hiệp ước được ký kết vào ngày nào trong tuần?

Tất cả ba đỉnh của $\triangle ABC$ đều nằm trên parabol được xác định bởi $y=x^2,$ với $A$ tại gốc và $\overline{BC}$ song song với trục $x$. diện tích của tam giác là $64.$ Độ dài của $BC?$ là bao nhiêu

Josh viết các số $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $99,$ $100.$ Anh đánh dấu $1,$ bỏ qua số tiếp theo $(2),$ đánh dấu $3,$ và tiếp tục bỏ qua và đánh dấu số tiếp theo ở cuối danh sách của mình. Sau đó, anh ta quay lại đầu danh sách, đánh dấu số còn lại đầu tiên $(2),$ bỏ qua số tiếp theo $(4),$ đánh dấu $6,$ bỏ qua $8,$ đánh dấu $10,$, v.v. cho đến hết. Josh tiếp tục theo cách này cho đến khi chỉ còn lại một số. Con số đó là gì?

Một miếng gỗ mỏng có mật độ đồng đều có hình tam giác đều với chiều dài cạnh $3$ inch nặng $12$ ounce. Mảnh gỗ thứ hai cùng loại, có cùng độ dày, cũng có hình dạng tam giác đều, có chiều dài cạnh $5$ inch. Giá trị nào sau đây gần đúng nhất với trọng lượng tính bằng ounce của mảnh thứ hai?

Carl quyết định rào lại khu vườn hình chữ nhật của mình. Anh ta mua $20$ cột hàng rào, đặt một cột ở mỗi góc trong số bốn góc và bố trí phần còn lại đều dọc theo các cạnh của khu vườn, chừa lại chính xác $4$ thước giữa các cột lân cận. Phần dài hơn của khu vườn của ông, bao gồm cả các góc, có số cột gấp đôi so với phần ngắn hơn, bao gồm cả các góc. diện tích, tính bằng thước vuông, của khu vườn của Carl là bao nhiêu?

Một tứ giác có các đỉnh $P(a,b),$ $Q(b,a),$ $R(-a,-b),$ và $S(-b,-a),$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên với $a\gt b\gt0.$ diện tích của $PQRS$ là $16.$ $a+b?$ là gì

Có bao nhiêu hình vuông có các cạnh song song với các trục và các đỉnh có tọa độ là số nguyên nằm hoàn toàn trong vùng giới hạn bởi đường thẳng $y=\pi x,$ đường thẳng $y=-0.1,$ và đường thẳng $x=5.1?$

Tất cả các số $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ được viết bằng $3\times3$ mảng các ô vuông, mỗi ô có một số, sao cho nếu hai số liên tiếp nhau thì chúng chiếm các ô vuông có chung một cạnh. Các số ở bốn góc cộng lại là $18.$ Ở giữa là số nào?

Alice và Bob sống cách nhau $10$ dặm. Một ngày nọ, Alice nhìn về phía bắc từ nhà cô ấy và nhìn thấy một chiếc máy bay. Cùng lúc đó, Bob từ nhà nhìn về hướng Tây và nhìn thấy chiếc máy bay tương tự. Góc nâng của máy bay là $30^\circ$ tính từ vị trí của Alice và $60^\circ$ tính từ vị trí của Bob. Điều nào sau đây gần nhất với độ cao của máy bay, tính bằng dặm?

Tổng của một chuỗi hình học vô hạn là một số dương $S,$ và số hạng thứ hai trong chuỗi là $1.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của $S?$ là bao nhiêu?

Tất cả các số $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ được gán cho sáu mặt của hình lập phương, mỗi mặt một số. Đối với mỗi trong số tám đỉnh của hình lập phương, tích của ba số được tính, trong đó ba số là các số được gán cho ba mặt bao gồm đỉnh đó. Giá trị lớn nhất có thể có của tổng tám sản phẩm này là bao nhiêu?

Có bao nhiêu cách $345$ có thể được viết dưới dạng tổng của một dãy tăng dần gồm hai hoặc nhiều số nguyên dương liên tiếp?

Trong $\triangle ABC$ hiển thị trên hình, $AB=7,$ $BC=8,$ $CA=9,$ và $\overline{AH}$ là độ cao. Các điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm trên các cạnh $\overline{AC}$ và $\overline{AB},$ sao cho $\overline{BD}$ và $\overline{CE}$ là các phân giác góc, cắt nhau $\overline{AH}$ tại $Q$ và $P,$ tương ứng. $PQ?$ là gì

diện tích của vùng được bao quanh bởi đồ thị của phương trình $x^2+y^2=|x|+|y|?$ là gì

Tom, Dick và Harry đang chơi một trò chơi. Bắt đầu cùng một lúc, mỗi người trong số họ tung một đồng xu công bằng liên tục cho đến khi nhận được mặt đầu tiên của mình, lúc đó anh ta dừng lại. xác suất mà cả ba đều tung đồng xu với số lần như nhau là bao nhiêu?

Một nhóm các đội tổ chức một giải đấu vòng tròn trong đó mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng một lần. Mỗi đội thắng $10$ trận và thua $10$ trận; không có mối quan hệ nào. Có bao nhiêu bộ ba đội $\{A,B,C\}$ trong đó $A$ đánh bại $B,$ $B$ đánh bại $C,$ và $C$ đánh bại $A?$