Một ô tô và một xe buýt cùng lúc rời thành phố A, đi trên cùng một con đường đến thành phố B cách đó 160 km. Hai xe chạy với vận tốc không đổi, khác nhau và là số nguyên km/giờ. Hiệu hai vận tốc là một số nguyên tố km/giờ. Sau hai giờ, quãng đường ô tô đã đi bằng năm lần quãng đường xe buýt còn phải đi. Vận tốc xe buýt bằng bao nhiêu km/giờ?
Số nguyên dương $m$ nhỏ nhất là bao nhiêu để tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho bốn chữ số đầu tiên sau dấu phẩy trong dạng thập phân của $\frac{n}{m}$ lần lượt là 2, 0, 2, 4?
Trong tam giác $ABC$, các điểm $D,E$ lần lượt nằm trên cạnh $AC,AB$; $F$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ như hình. Diện tích các tam giác $DFC,BCF,BEF$ lần lượt là $4\text{ cm}^2$, $8\text{ cm}^2$, $10\text{ cm}^2$. Diện tích tứ giác $ADFE$ bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?
Biết $2^{84}$ là số có 26 chữ số và chữ số đầu tiên là 1. Trong các số $2^1,2^2,2^3,2^4,\ldots,2^{83},2^{84}$, có bao nhiêu số có chữ số đầu tiên là 4?
Trong tam giác $ABC$, $\angle BAC=30^\circ$, $\angle ABC=105^\circ$. Điểm $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle PAB=15^\circ$, $\angle ABP=75^\circ$ như hình. Góc $\angle PCB$ bằng bao nhiêu độ?
Có một nửa hình tròn và ba hình tròn tô xám $C_1,C_2,C_3$, trong đó hai hình tròn nhỏ $C_2,C_3$ có bán kính bằng nhau. Mỗi hình tròn tô xám tiếp xúc với nửa đường tròn, và $C_1$ tiếp xúc với cả $C_2,C_3$. Cả ba hình tròn cũng tiếp xúc với đường kính của nửa hình tròn; riêng $C_1$ tiếp xúc tại tâm của nửa hình tròn như hình. Nếu tổng diện tích tô xám là $777\text{ cm}^2$, phần không tô xám có diện tích bao nhiêu $\text{cm}^2$? (Lấy $\pi=\frac{22}{7}$.)
Cho 5 điểm trên cùng một mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các góc trong của mọi tam giác có ba đỉnh là ba trong năm điểm đó. Giá trị lớn nhất có thể của góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu độ?
Trên đường từ thị trấn A đến thị trấn B có một dãy làng. Hai làng liên tiếp cách nhau 10 km; làng đầu cách A 20 km, làng cuối cách B 20 km. Mỗi làng có một số pho tượng. Arthur đi từ A đến B và mỗi ngày phải đi ít nhất 20 km. Nếu dừng ở một làng, cậu ở lại đó trong ngày và hôm sau tiếp tục đi về phía B, nên sẽ bỏ qua một số làng. Cậu muốn tham quan nhiều tượng nhất có thể. Ví dụ:
- A 4 3 4 3 B: dừng tại làng 1 và 3.
- A 2 4 5 4 B: dừng tại làng 2 và 4.
- A 5 4 2 3 B: dừng tại làng 1 và 4.
Mỗi trường hợp đều tham quan 8 tượng. Với dãy sau, số tượng tối đa cậu có thể tham quan là bao nhiêu?
Ann và Bob chơi trò tung đồng xu cân đối; mỗi lần tung, xác suất được mặt ngửa hoặc mặt sấp đều bằng $\frac12$. Ann tung 4 lần, Bob tung 6 lần, độc lập với nhau. Gọi $\frac pq$ là xác suất hai bạn có số lần được mặt ngửa bằng nhau, với phân số tối giản. Tính $p+q$.
Một số ô của bảng $7\times5$ được tô xám như hình. Có bao nhiêu cách chọn năm ô xám sao cho hai ô bất kỳ được chọn đều khác hàng và khác cột? Trình bày lời giải chi tiết.
Tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$. Gọi $E$ là trung điểm của $AC$ và $K$ là giao điểm khác $A$ của đường phân giác góc $CAB$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ như hình. Chứng minh đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\frac43 AK$.
