Câu hỏi 16
Một tập con $B$ của các số tự nhiên được gọi là “trung thành” nếu tồn tại các số nguyên dương $i\leq j$ sao cho $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$. Gọi $Q$ là họ các tập con trung thành. Với mỗi tập con $A=\{a_1\lt a_2\lt\cdots\lt a_k\}$ của $\{1,2,\ldots,n\}$, đặt
$$g(A)=\max_{B\subset A,\ B\in Q}|B|,\qquad f(A)=\max_{1\leq i\leq k-1}(a_{i+1}-a_i).$$
Đồng thời đặt
$$G(n)=\sum_{A\subseteq\{1,\ldots,n\}}g(A),\qquad F(n)=\sum_{A\subseteq\{1,\ldots,n\}}f(A).$$
Chứng minh tồn tại $m\in\mathbb N$ sao cho với mọi số nguyên dương $n\gt m$, ta có $F(n)\gt G(n)$. ($|A|$ là số phần tử của $A$; nếu $|A|\leq1$, đặt $f(A)=0$.)
$$g(A)=\max_{B\subset A,\ B\in Q}|B|,\qquad f(A)=\max_{1\leq i\leq k-1}(a_{i+1}-a_i).$$
Đồng thời đặt
$$G(n)=\sum_{A\subseteq\{1,\ldots,n\}}g(A),\qquad F(n)=\sum_{A\subseteq\{1,\ldots,n\}}f(A).$$
Chứng minh tồn tại $m\in\mathbb N$ sao cho với mọi số nguyên dương $n\gt m$, ta có $F(n)\gt G(n)$. ($|A|$ là số phần tử của $A$; nếu $|A|\leq1$, đặt $f(A)=0$.)