MathNet 2013

Tại rạp chiếu phim, khi mở ba quầy bán vé thì khách phải đợi 15 phút để mua vé. Nếu mở thêm hai quầy, thời gian chờ giảm bao nhiêu phút?

(A) 3

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 10

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là tọa độ phức của các đỉnh một tam giác và $|a+2b-3c|=|a-4b+3c|$ thì tam giác đó vuông.

Chứng minh tích 2013 số hạng đầu của dãy
$$
a_n = 1 + \frac{1}{n^3}
$$
nhỏ hơn 3.

Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\setminus\{-1\}\to\mathbb R$ sao cho
$$f(x)+f(y)=(x+y+2)f(x)f(y)$$
với mọi $x,y\in\mathbb R\setminus\{-1\}$.

Xác định mọi số nguyên $m \ge 2$ sao cho với mọi số nguyên $n, \frac{m}{3} \le n \le \frac{m}{2}$, số đó là ước của hệ số nhị thức $\binom{n}{m-2n}$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $D$ là trung điểm cạnh $AB$, $E$ là giao điểm cạnh $BC$ với đường phân giác góc $\angle BAC$, và $F$ là hình chiếu vuông góc của $E$ trên cạnh $AB$. Giả sử $\angle CDA=\angle ACB$ và $|CE|=|BF|$. Tìm số đo các góc của tam giác $ABC$.

Giả sử $f:\mathbb R\to\mathbb R$ là hàm đơn điệu.

a. Chứng minh $f$ có các giới hạn một phía tại mọi $x_0\in\mathbb R$.

b. Định nghĩa $g:\mathbb R\to\mathbb R$, $g(x)=\lim_{t\to x}f(t)$, tức $g(x)$ là giới hạn bên trái tại $x$ của $f$. Chứng minh rằng $g$ là hàm liên tục, khi đó $f$ cũng liên tục.

Trong tam giác nhọn $ABC$, các điểm $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao từ $A, B, C$. Gọi $I_1, I_2$ lần lượt là tâm nội tiếp $AEF$, $BDF$; $O_1, O_2$ lần lượt là tâm ngoại tiếp $ACI_1$, $BCI_2$. Chứng minh $I_1I_2$ song song $O_1O_2$.

Tìm mọi số tự nhiên $n=\overline{23ab16c}$ có các chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho $9$ và $11$. Ở đây $a,b,c$ là các chữ số.

Một giải bóng bàn diễn ra như sau. Ở mỗi vòng, nếu số người chơi lẻ thì bốc thăm chọn một người tự động vào vòng sau. Những người còn lại được bốc thăm chia cặp; hai người trong mỗi cặp thi đấu, người thắng vào vòng sau. Gọi $f(n)$ là số vòng của giải có $n$ người chơi (ví dụ $f(5)=3$). Tính $f(2013)$ và tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $f(n)=f(2013)$.

Ước chung lớn nhất của $11n+4$ và $7n+2$ có thể lớn nhất bằng bao nhiêu khi $n$ là số tự nhiên?

Tìm hai giá trị nguyên của $x$ gần $2013^\circ$ nhất, một nhỏ hơn và một lớn hơn, thỏa mãn
$$
2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 2\sqrt{2}
$$

Cho tam giác $ABC$, điểm $D$ trên cạnh $AB$ và điểm $E$ trên cạnh $AC$ sao cho $|AE|=|ED|=|DB|$ và $|AD|=|DC|=|CB|$. Tính các góc của tam giác $ABC$.

Cho dãy số nguyên $a_1,a_2,\ldots$ xác định đệ quy bởi $a_1=2013$ và với $n\ge1$, $a_{n+1}$ là tổng các lũy thừa bậc $2013$ của các chữ số của $a_n$. Có tồn tại hai số nguyên dương phân biệt $i,j$ sao cho $a_i=a_j$ không?

Chứng minh rằng mọi tứ giác ngoại tiếp đường tròn có hai đường chéo vuông góc đều là hình diều.

Bắt đầu từ $37$, lần lượt thêm chữ số $5$ vào phía trước để được
$37$, $537$, $5537$, $55537$, $555537$, ...
Có bao nhiêu số hạng là số nguyên tố?

Cho $P$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$. Khoảng cách từ $P$ đến ba đỉnh lần lượt là $d_A, d_B, d_C$, và khoảng cách vuông góc đến ba cạnh lần lượt là $d_1, d_2, d_3$. Chứng minh
$$
d_A + d_B + d_C \geq 2(d_1 + d_2 + d_3).
$$

Cho $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC,AB$, và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ và $MNP$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $X,Y$ nằm trong tam giác $ABC$. Chứng minh $\angle BAX=\angle CAY$.

Tính tổng các nghịch đảo của 2013 số hạng đầu của dãy có số hạng tổng quát
$$
a_n = 1 - \frac{1}{4n^2}
$$

Cho số nguyên dương $k$. Cho song ánh $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ sao cho với mọi số nguyên $i,j$ thỏa $|i-j|\le k$, ta có $|f(i)-f(j)|\le k$. Chứng minh $|f(i)-f(j)|=|i-j|$ với mọi $i,j\in\mathbb Z$.