Một cách cắt bàn cờ $8 \times 8$ thành các hình chữ nhật được gọi là đa dạng nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
* Mỗi hình chữ nhật chứa số ô đen bằng số ô trắng.
* Không có hai hình chữ nhật nào có cùng tổng số ô.
Tìm số $n$ lớn nhất sao cho tồn tại một cách cắt đa dạng thành $n$ hình chữ nhật. (Ratko Višak)
Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thỏa mãn
$$
2^{x^2} = 16^y \quad \text{và} \quad \log_{\sqrt{2017}} x + \log_{\sqrt{2017}} y \gt 0.
$$
Chứng minh rằng $y \gt \frac{1}{2}$. (Kristina Ana Škreb)
Một số chỉ được viết bằng các chữ số $2$ và $3$ được gọi là *số hạnh phúc*. Như vậy, các số hạnh phúc là $2$, $3$, $22$, $23$, $32$, $33$, $222$, $223$, $232$, $233$, $322$, $323$, $332$, $333$, ... Hãy xác định số hạnh phúc thứ $2050$.
Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn với $\angle BAC = 75^\circ$. Gọi $P$ là trung điểm cạnh $\overline{BC}$, và $M$, $N$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ đỉnh $B$ và $C$. Hãy xác định góc $\angle MPN$.
Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn và $BCD$, $ACE$, $ABF$ là các tam giác đều dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $\overline{BD}$, và $O$ là tâm của tam giác $ACE$. Chứng minh rằng $|AM| : |OF| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai mươi điểm có tọa độ nguyên sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh được chọn trong các điểm đã cho mà trọng tâm của nó cũng là một điểm có tọa độ nguyên.
Các dãy $(x_n)$ và $(y_n)$ được cho bởi công thức truy hồi:
$x_1 = 3$, $y_1 = 1$,
$x_{n+1} = 3x_n + y_n$, với mọi $n \in \mathbb{N}$;
$y_{n+1} = x_n + 3y_n$, với mọi $n \in \mathbb{N}$.
Chứng minh rằng $x_{2017}^2 - y_{2017}^2 = 8^{2017}$.
Trong hình chữ nhật có các đỉnh $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$, $C(1, 1)$, $D(-1, 1)$ chọn ngẫu nhiên một điểm $T$. Tính xác suất để $T$ gần $A$ hơn so với điểm $P(2, 1)$.
Tìm số các số có chín chữ số gồm các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ và $9$ (mỗi chữ số xuất hiện một lần) sao cho không có ba chữ số liên tiếp nào tạo thành $123$, $246$ hoặc $678$.
Cho $z_1$ và $z_2$ là các số phức thỏa mãn $|z_1| = |z_2| = 1$, và $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn $a + b = 1$. Chứng minh rằng
$$
|a z_1 + b z_2| \ge \frac{1}{2} |z_1 + z_2|.
$$
Cho $A$, $B$ và $C$ là các điểm nằm trên đường cong (hypebol) có phương trình $xy = 1$. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác $ABC$ cũng thuộc đường cong đó.
Gargamel bắt được $N$ chú Xì Trum và chia chúng vào ba cái túi. Sau khi chuyển Tí Vua (Papa Smurf) từ túi thứ nhất sang túi thứ hai, Tí Cau Có (Grouchy Smurf) từ túi thứ hai sang túi thứ ba, và Tí Cô Nương (Smurfette) từ túi thứ ba sang túi thứ nhất, chiều cao trung bình của các chú Xì Trum trong túi thứ nhất giảm 8 milimét, còn chiều cao trung bình trong túi thứ hai và túi thứ ba lần lượt tăng 5 và 8 milimét.
Biết rằng trong túi thứ nhất có chín chú Xì Trum, hãy xác định $N$. (Stipe Vidak)
Các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $\overline{BC}$ và $\overline{CD}$ của hình vuông $ABCD$ sao cho $\angle BMA = \angle NMC = 60^\circ$. Hãy xác định $\angle MAN$. (Ukraina 2013)
Karlo và Lovro chơi trò chơi sau. Karlo cắt tờ giấy kích thước $9 \times 9$ thành các hình chữ nhật có kích thước nguyên và có ít nhất một cạnh độ dài $1$. Sau đó Lovro chọn một số nguyên dương $k \in \{1, \dots, 9\}$, rồi Karlo đưa cho Lovro số đồng xu bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật $1 \times k$ và $k \times 1$ đã được cắt ra. Lovro chọn $k$ sao cho nhận được từ Karlo nhiều đồng xu nhất có thể, còn Karlo muốn đưa cho Lovro càng ít đồng xu càng tốt.
Tìm số đồng xu nhỏ nhất có thể mà Karlo phải đưa cho Lovro. (Ukraina 2013)