MathNet 2018-part-01 — 181 bài (EN–VI)

Một hình chữ nhật lưới (không phải hình vuông) được cắt dọc theo các đường lưới thành 8 đa giác lưới khác nhau (đôi một không bằng nhau). Diện tích nhỏ nhất có thể của hình chữ nhật đó là bao nhiêu?

Các hàng và các cột của một bảng $16 \times 16$ được đánh số $1, 2, \dots, 16$, và tích $i \cdot j$ được viết vào ô ở hàng $i$, cột $j$. Chọn một số hàng (ít nhất $2$ hàng) và một số cột (ít nhất $2$ cột). Sau đó xóa các số nằm ở giao của chúng.

a) Tổng của tất cả các số bị xóa có thể là số nguyên tố không?

b) Câu hỏi tương tự đối với tổng của tất cả các số không bị xóa?

Trên mỗi mặt của một hình lập phương viết một số tự nhiên. Gán cho mỗi đỉnh của hình lập phương tích của ba số trên ba mặt chứa đỉnh đó. Giả sử tổng của 8 tích này bằng 315. Hãy xác định tổng các số trên các mặt (tìm tất cả các khả năng).

Hãy viết vào các ô của một bảng $4 \times 4$ các số tự nhiên đôi một khác nhau sao cho tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau và tích các số trên mỗi cột cũng bằng nhau.

Facu và Nico chơi trò chơi sau với một hình vuông lưới $13 \times 13$. Facu cắt hình vuông thành các hình chữ nhật có một cạnh bằng $1$, theo cách tùy ý. Sau đó Nico chọn một số $k$ trong các số $1, 2, \ldots, 13$ và lấy tất cả các hình chữ nhật $1 \times k$ thu được. Nico chắc chắn lấy được bao nhiêu ô lưới?

Cho 16 quả bóng có khối lượng $13$, $14$, $15$, $\ldots$, $28$ gam. Hãy xác định các quả bóng có khối lượng $13$, $14$, $27$, $28$ gam bằng cách dùng một chiếc cân hai đĩa không quá $26$ lần.

Một tập hợp các số tự nhiên được gọi là *chính quy* nếu mọi tập con của nó đều có tổng khác $1810$. Hãy chia các số $452$, $453$, $\ldots$, $1809$ thành một số ít nhất các tập chính quy.

Những đa giác đều $n$ cạnh nào có thể được chia (bằng các đường chéo không cắt nhau) thành các tam giác cân?

Tìm tất cả các số tự nhiên $a$ sao cho $4x^2 + a$ là số nguyên tố với mọi $x = 0, 1, \dots, a-1$.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $AB = BD = a$ và $CD = DA = b$. Lấy $P$ trên cạnh $AB$ sao cho $DP$ là phân giác của $\angle ADB$ và $Q$ trên cạnh $BC$ sao cho $DQ$ là phân giác của $\angle CDB$. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $DPQ$.

Trong cuộc bầu cử thống đốc một tỉnh có ba ứng cử viên $A$, $B$, $C$. Ở vòng một, số phiếu của $A$ bằng $44\%$ tổng số phiếu của $B$ và $C$ cộng lại, và $C$ có ít phiếu nhất. Không ứng cử viên nào đạt đa số cần thiết để thắng ngay vòng một, nên có vòng hai giữa $A$ và $B$. Cử tri ở vòng hai vẫn là các cử tri ở vòng một, trừ $p\%$ số người đã bầu cho $C$ quyết định không tham gia vòng hai; $p$ là số nguyên, $1 \le p \le 100$. Ngoài ra, những người đã bầu cho $B$ ở vòng một lại bầu cho $B$ ở vòng hai.

Một nhà báo khẳng định rằng, khi biết tất cả các thông tin trên, có thể suy ra chắc chắn ai là người thắng cử. Với những giá trị nào của $p$ thì nhà báo nói đúng?

Chú ý. Người thắng ở vòng hai là người nhận được nhiều hơn một nửa tổng số phiếu ở vòng hai.

A chọn 13 số có 3 chữ số đôi một khác nhau. Sau đó B chọn ra một vài số trong 13 số này và cố gắng lập, bằng cách dùng mỗi số đã chọn đúng một lần cùng các phép toán $+, -, \times, \div$, một biểu thức có giá trị nằm thực sự giữa 3 và 4. B thắng nếu làm được điều đó; ngược lại A thắng. Ai có chiến lược thắng?

Cho 51 số tự nhiên viết thành một hàng. Tổng của chúng bằng 100. Một số nguyên được gọi là *biểu diễn được* nếu nó bằng tổng của một vài số liên tiếp trong hàng đã cho. Chứng minh rằng với mỗi $k \in \{1, 2, \dots, 100\}$, một trong hai số $k$ và $100-k$ là biểu diễn được.

Cho tam giác $\triangle ABC$ có chu vi $100$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$. Đường thẳng qua $I$ song song với $AB$ chia đường trung tuyến kẻ từ $A$ theo tỉ số $7:3$, tính từ $A$. Tính độ dài cạnh $AB$.

Với $n \in \mathbb{N}$, gọi $D_2(n)$ (tương ứng $D_3(n)$) là số các ước của $n$ là số chính phương (tương ứng là lập phương đúng). Chứng minh rằng tồn tại $n$ sao cho $D_2(n) = 999D_3(n)$.

Một dãy số tự nhiên được gọi là *chấp nhận được* nếu các số hạng của nó không vượt quá $100$ và tổng của nó lớn hơn $1810$. Tìm số $d$ nhỏ nhất sao cho mọi dãy chấp nhận được đều có một dãy con có tổng nằm trong đoạn $[1810-d, 1810+d]$.

Vẽ tất cả các đường chéo của một thập giác lồi. Chúng chia các góc của thập giác thành 80 phần. Biết rằng 59 phần trong số đó bằng nhau. Hãy xác định số lớn nhất các giá trị khác nhau trong 80 góc được chia. Mỗi giá trị đó xuất hiện bao nhiêu lần?

Trong tứ giác lồi $ABCD$ ta có:
* $R$ và $S$ là các điểm nằm trong các đoạn thẳng $CD$ và $AB$ tương ứng, với $AD = CR$ và $BC = AS$.
* $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của $DR$ và $SB$.
* $M$ là trung điểm của $AC$.
Biết rằng $\angle MPC + \angle MQA = 90^\circ$, chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn thành tổng các lũy thừa của $3$, $4$ và $7$ sao cho trong biểu diễn không có hai lũy thừa cùng cơ số và cùng số mũ.
Ví dụ, $2 = 7^0 + 7^0$ và $22 = 3^2 + 3^2 + 4^1$ không phải là các tổng hợp lệ, nhưng $2 = 3^0 + 7^0$ và $22 = 3^2 + 3^0 + 4^1 + 4^0 + 7^1$ là hợp lệ.

Xét tích $P_n = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \dots \cdot n!$, trong đó $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$, với mọi số nguyên dương $n$.

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương $m$ sao cho $\frac{P_{2020}}{m!}$ là số chính phương.

b) Chứng minh rằng có vô số giá trị $n$ sao cho $\frac{P_n}{m!}$ là số chính phương với ít nhất hai số nguyên dương $m$.