Câu hỏi 4
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$. Trên các tia $AB,AC,BC,BA,CA,CB$ lần lượt lấy các điểm $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ sao cho
$$AA_1=AA_2=BC,\quad BB_1=BB_2=CA,\quad CC_1=CC_2=AB.$$
Các cặp đường thẳng $(B_1B_2,C_1C_2)$, $(C_1C_2,A_1A_2)$, $(A_1A_2,B_1B_2)$ lần lượt có giao điểm là $A',B',C'$.
(a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ không vượt quá diện tích tam giác $ABC$.
(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$. Các đường thẳng $AJ,BJ,CJ$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,S,T$ tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AST,BTR,CRS$ cùng đi qua một điểm $K$. Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ không cân thì $IHJK$ là hình bình hành.
$$AA_1=AA_2=BC,\quad BB_1=BB_2=CA,\quad CC_1=CC_2=AB.$$
Các cặp đường thẳng $(B_1B_2,C_1C_2)$, $(C_1C_2,A_1A_2)$, $(A_1A_2,B_1B_2)$ lần lượt có giao điểm là $A',B',C'$.
(a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ không vượt quá diện tích tam giác $ABC$.
(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$. Các đường thẳng $AJ,BJ,CJ$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,S,T$ tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AST,BTR,CRS$ cùng đi qua một điểm $K$. Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ không cân thì $IHJK$ là hình bình hành.