Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $A_1,B_1,C_1$ và $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là các chân đường cao của tam giác $ABC$ hạ từ các đỉnh $A,B,C$ và các điểm đối xứng với $A_1,B_1,C_1$ qua trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $A_3,B_3,C_3$ lần lượt là các giao điểm thứ hai (ngoài các đỉnh $A,B,C$ tương ứng) của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AB_2C_2,BC_2A_2,CA_2B_2$ với $(O)$. Chứng minh rằng $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$ đồng quy.
Làm rõ của người biên soạn: nguồn chỉ viết “các giao điểm”, chưa nói giao điểm thứ hai. Khi hai đường tròn tiếp xúc tại đỉnh đang xét, phải hiểu giao điểm thứ hai có tính bội; nếu không dùng quy ước này, đề chưa xác định với mọi tam giác nhọn.
Cho đa thức $P(x)=rx^3+qx^2+px+1$, trong đó $p,q,r$ là các số thực và $r\gt 0$. Xét dãy số $(a_n)$ xác định bởi
$$a_1=1,\qquad a_2=-p,\qquad a_3=p^2-q,$$
$$a_{n+3}=-pa_{n+2}-qa_{n+1}-ra_n\qquad(n\ge0).$$
Chứng minh rằng nếu đa thức $P(x)$ có một nghiệm thực duy nhất và không có nghiệm bội thì dãy $(a_n)$ có vô số số âm.
Làm rõ của người biên soạn: nguồn in $n\ge0$ nhưng chưa cho $a_0$. Phương trình tại $n=0$ buộc $a_0=0$ vì $r\gt 0$. Tương đương, giữ ba số hạng đầu và áp dụng truy hồi với $n\ge1$.
Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $a,b$ và $ab$ đều không phải là số chính phương. Chứng minh rằng trong hai phương trình
$$ax^2-by^2=1,\qquad ax^2-by^2=-1$$
có ít nhất một phương trình không có nghiệm nguyên dương.
Tìm tất cả các số thực $r$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ dương:
$$\left(r+\frac a{b+c}\right)\left(r+\frac b{c+a}\right)\left(r+\frac c{a+b}\right)\ge\left(r+\frac12\right)^3.$$
Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$ và $M$ là một điểm bất kì nằm trong $(O)$, $M$ không nằm trên $AB$. Gọi $N$ là giao điểm của tia phân giác trong góc $M$ của tam giác $AMB$ với đường tròn $(O)$. Đường phân giác ngoài góc $AMB$ cắt các đường thẳng $NA,NB$ lần lượt tại $P,Q$. Đường thẳng $MA$ cắt đường tròn đường kính $NQ$ tại $R$, đường thẳng $MB$ cắt đường tròn đường kính $NP$ tại $S$, với $R,S$ khác $M$. Chứng minh rằng đường trung tuyến ứng với đỉnh $N$ của tam giác $NRS$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động phía trong đường tròn.
Thiếu sót của nguồn: với một số điểm M được phép, giao điểm thứ hai là tiếp điểm M, nên không thể yêu cầu R,S khác M. Định lí dự định đúng khi cách dựng xác định; hoặc phải cho phép giao điểm có bội tại tiếp điểm. Lời giải đưa phản ví dụ cụ thể cho cách dựng không hạn chế và chứng minh cách hiểu đã sửa.
Một hội nghị toán học có tất cả $6n+4$ nhà toán học phải họp với nhau đúng $2n+1$ lần, với $n\ge1$. Mỗi lần họp, họ ngồi quanh một cái bàn $4$ chỗ và $n$ cái bàn $6$ chỗ, các vị trí ngồi chia đều khắp mỗi bàn. Biết rằng hai nhà toán học đã ngồi cạnh hoặc đối diện nhau ở một cuộc họp này thì sẽ không được ngồi cạnh hoặc đối diện nhau ở một cuộc họp khác.
(a) Chứng minh rằng Ban tổ chức có thể xếp được chỗ ngồi nếu $n=1$.
(b) Hỏi rằng Ban tổ chức có thể sắp xếp được chỗ ngồi với mọi $n\gt 1$ hay không?