Câu hỏi 2
Cho đa thức $P(x)=rx^3+qx^2+px+1$, trong đó $p,q,r$ là các số thực và $r\gt 0$. Xét dãy số $(a_n)$ xác định bởi
$$a_1=1,\qquad a_2=-p,\qquad a_3=p^2-q,$$
$$a_{n+3}=-pa_{n+2}-qa_{n+1}-ra_n\qquad(n\ge0).$$
Chứng minh rằng nếu đa thức $P(x)$ có một nghiệm thực duy nhất và không có nghiệm bội thì dãy $(a_n)$ có vô số số âm.
Làm rõ của người biên soạn: nguồn in $n\ge0$ nhưng chưa cho $a_0$. Phương trình tại $n=0$ buộc $a_0=0$ vì $r\gt 0$. Tương đương, giữ ba số hạng đầu và áp dụng truy hồi với $n\ge1$.
$$a_1=1,\qquad a_2=-p,\qquad a_3=p^2-q,$$
$$a_{n+3}=-pa_{n+2}-qa_{n+1}-ra_n\qquad(n\ge0).$$
Chứng minh rằng nếu đa thức $P(x)$ có một nghiệm thực duy nhất và không có nghiệm bội thì dãy $(a_n)$ có vô số số âm.
Làm rõ của người biên soạn: nguồn in $n\ge0$ nhưng chưa cho $a_0$. Phương trình tại $n=0$ buộc $a_0=0$ vì $r\gt 0$. Tương đương, giữ ba số hạng đầu và áp dụng truy hồi với $n\ge1$.