VN TST 2004

Cho tập $S=\{a_1,\ldots,a_{2004}\}$ gồm 2004 số nguyên dương phân biệt. Với mỗi $i=1,1,\ldots,2004$ (đúng như bản in), gọi $f(a_i)$ là số phần tử của $S$ nguyên tố cùng nhau với $a_i$. Nguồn tiếp đó yêu cầu $d(a_i)<2003$ và $f(a_i)=f(a_j)$ với mọi $i,j\in\{1,\ldots,2004\}$.
Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho mỗi tập con gồm $k$ phần tử của mọi tập $S$ như trên đều chứa hai số phân biệt có ước chung lớn nhất khác 1.
Chú thích biên tập: nguồn không định nghĩa ký hiệu $d$. Lời giải tham khảo có điều kiện dưới đây hiểu $d=f$; đây không phải lời giải quyết cho phát biểu nguyên văn có ký hiệu chưa được định nghĩa.

Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.

PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập.

Nguồn in ngày 7–8/5/2004. Việc xếp bài 1–3 và 4–6 vào hai buổi là quy ước biên tập, không phải tiêu đề buổi thi được in. Hệ số chấm của bộ nhập là đúng 1, sai 0, bỏ trống 0; các bài tự luận cần chấm tay.

Tìm tất cả số thực $\alpha$ sao cho có đúng một hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(x^2+y+f(y))=f(x)^2+\alpha y\qquad(x,y\in\mathbb R).$$

Hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ cắt nhau tại $A,B$. Các tiếp tuyến của $(O_1)$ tại $A,B$ cắt nhau tại $K$. Điểm $M\ne A,B$ thuộc $(O_1)$. Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $MA$ với $(O_2)$, $C$ là giao điểm thứ hai của $MK$ với $(O_1)$, $Q$ là giao điểm thứ hai của $CA$ với $(O_2)$. Chứng minh:
1. Trung điểm $PQ$ thuộc $MC$.
2. Đường thẳng $PQ$ đi qua một điểm cố định khi $M$ di động.
Theo quy ước thông thường, chỉ xét các vị trí mà những giao điểm thứ hai và đường thẳng trong kết luận được xác định, không suy biến.

Cho $x_1=603$, $x_2=102$ và
$$x_{n+2}=x_{n+1}+x_n+2\sqrt{x_{n+1}x_n-2}\qquad(n\ge1).$$
Chứng minh: (1) mọi số hạng là số nguyên dương; (2) có vô số số hạng tận cùng bằng bốn chữ số 2003; (3) không có số hạng nào tận cùng bằng bốn chữ số 2004.

Cho lục giác lồi $ABCDEF$. Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1,F_1$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DE,EF,FA$. Chu vi hai lục giác tương ứng là $p,p_1$. Giả sử các góc trong của $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ bằng nhau. Chứng minh
$$p\ge\frac{2\sqrt3}{3}p_1,$$
và xác định đầy đủ điều kiện xảy ra dấu bằng.

Cho tập khác rỗng $S$ gồm các số nguyên dương, trong đó phần tử nhỏ nhất và lớn nhất nguyên tố cùng nhau. Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $S_n$ là tập các số tự nhiên biểu diễn được thành tổng của nhiều nhất $n$ phần tử thuộc $S$, cho phép lặp. Quy ước tổng của 0 phần tử bằng 0. Nếu $a=\max S$, chứng minh tồn tại số nguyên dương $k$ và số nguyên $b$ sao cho
$$|S_n|=an+b\qquad(\forall n>k).$$
Ký hiệu $|X|$ chỉ số phần tử của $X$; các số tự nhiên trong định nghĩa $S_n$ bao gồm 0.