Câu hỏi 1
Cho tập $S=\{a_1,\ldots,a_{2004}\}$ gồm 2004 số nguyên dương phân biệt. Với mỗi $i=1,1,\ldots,2004$ (đúng như bản in), gọi $f(a_i)$ là số phần tử của $S$ nguyên tố cùng nhau với $a_i$. Nguồn tiếp đó yêu cầu $d(a_i)<2003$ và $f(a_i)=f(a_j)$ với mọi $i,j\in\{1,\ldots,2004\}$.
Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho mỗi tập con gồm $k$ phần tử của mọi tập $S$ như trên đều chứa hai số phân biệt có ước chung lớn nhất khác 1.
Chú thích biên tập: nguồn không định nghĩa ký hiệu $d$. Lời giải tham khảo có điều kiện dưới đây hiểu $d=f$; đây không phải lời giải quyết cho phát biểu nguyên văn có ký hiệu chưa được định nghĩa.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập.
Nguồn in ngày 7–8/5/2004. Việc xếp bài 1–3 và 4–6 vào hai buổi là quy ước biên tập, không phải tiêu đề buổi thi được in. Hệ số chấm của bộ nhập là đúng 1, sai 0, bỏ trống 0; các bài tự luận cần chấm tay.
Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho mỗi tập con gồm $k$ phần tử của mọi tập $S$ như trên đều chứa hai số phân biệt có ước chung lớn nhất khác 1.
Chú thích biên tập: nguồn không định nghĩa ký hiệu $d$. Lời giải tham khảo có điều kiện dưới đây hiểu $d=f$; đây không phải lời giải quyết cho phát biểu nguyên văn có ký hiệu chưa được định nghĩa.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập.
Nguồn in ngày 7–8/5/2004. Việc xếp bài 1–3 và 4–6 vào hai buổi là quy ước biên tập, không phải tiêu đề buổi thi được in. Hệ số chấm của bộ nhập là đúng 1, sai 0, bỏ trống 0; các bài tự luận cần chấm tay.