USAMO 2016 — Ngày 1 và Ngày 2 Câu hỏi 4

Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với mọi $x,y\in\mathbb R$, $$(f(x)+xy)f(x-3y)+(f(y)+xy)f(3x-y)=f(x+y)^2.$$

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo Evan Chen).