USAMO 2011 — Ngày 1 và Ngày 2 Câu hỏi 6

Cho tập $A$ có $225$ phần tử và mười một tập con $A_1,\ldots,A_{11}$ sao cho $|A_i|=45$ và $|A_i\cap A_j|=9$ khi $i\lt j$. Chứng minh $|A_1\cup\cdots\cup A_{11}|\ge165$ và xây dựng ví dụ đạt dấu bằng.