USAMO 2004 — Ngày 1 và Ngày 2

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn, có tất cả các góc trong và góc ngoài không nhỏ hơn $60^\circ$. Chứng minh rằng
$$\frac13|AB^3-AD^3|\le|BC^3-CD^3|\le3|AB^3-AD^3|.$$
Khi nào xảy ra dấu bằng?

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo nguồn được cung cấp).

Cho các số nguyên $a_1,a_2,\ldots,a_n$ có ước chung lớn nhất bằng $1$. Tập số nguyên $S$ có các tính chất sau:

(a) $a_i\in S$ với $i=1,\ldots,n$.

(b) $a_i-a_j\in S$ với $i,j=1,\ldots,n$, không nhất thiết phân biệt.

(c) Nếu $x,y\in S$ và $x+y\in S$ thì $x-y\in S$.

Chứng minh $S=\mathbb Z$.

Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya (theo nguồn được cung cấp).

Với những giá trị thực nào của $k\gt 0$, có thể chia một hình chữ nhật $1\times k$ thành hai đa giác đồng dạng nhưng không bằng nhau?

Tác giả đề bài: Ricky Liu (theo nguồn được cung cấp).

Alice và Bob chơi trên bảng ô vuông $6\times6$. Mỗi lượt, người chơi chọn một số hữu tỉ chưa xuất hiện trên bảng và viết vào một ô trống. Alice đi trước, rồi hai người luân phiên. Khi bảng đầy, trong mỗi hàng, ô chứa số lớn nhất được tô đen. Alice thắng nếu có thể vẽ một đường từ mép trên xuống mép dưới của bảng mà luôn nằm trong các ô đen; nếu không thì Bob thắng. Nếu hai ô chung một đỉnh, đường được phép đi từ ô này sang ô kia mà vẫn nằm trong hai ô. Hãy tìm và chứng minh một chiến lược thắng cho một trong hai người.

Tác giả đề bài: Melanie Wood (theo nguồn được cung cấp).

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\ge(a+b+c)^3.$$

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo nguồn được cung cấp).

Đường tròn $\omega$ nội tiếp tứ giác $ABCD$, có tâm $I$. Giả sử
$$(AI+DI)^2+(BI+CI)^2=(AB+CD)^2.$$
Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang cân.

Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo nguồn được cung cấp).