USAMO 1997 — Ngày 1 và Ngày 2

Gọi $p_1,p_2,p_3,\ldots$ là các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần, và cho $0\lt x_0\lt 1$. Với mọi số nguyên dương $k$, định nghĩa $$x_k=\begin{cases}0,&x_{k-1}=0,\\ \left\{p_k/x_{k-1}\right\},&x_{k-1}\ne0.\end{cases}$$ Ở đây $\{t\}=t-\lfloor t\rfloor$ là phần lẻ. Hãy tìm, có chứng minh, tất cả giá trị ban đầu $x_0$ để dãy cuối cùng trở thành $0$.

Cho tam giác $ABC$. Chọn ba điểm không thẳng hàng $D,E,F$ lần lượt nằm trên các đường trung trực của $BC,CA,AB$. Chứng minh các đường thẳng qua $A,B,C$ lần lượt vuông góc với $EF,FD,DE$ đồng quy.

Chứng minh với mỗi số nguyên $n$, tồn tại duy nhất đa thức $Q$ có các hệ số thuộc $\{0,1,\ldots,9\}$ sao cho $Q(-2)=Q(-5)=n$.

Để cắt một đa giác lồi $n$ cạnh, chọn hai cạnh liên tiếp $AB,BC$, gọi $M,N$ là trung điểm tương ứng, rồi thay $AB,BC$ bằng $AM,MN,NC$. Như vậy cắt bỏ tam giác $MBN$ và được đa giác lồi $(n+1)$ cạnh. Bắt đầu từ lục giác đều $\mathcal P_6$ có diện tích $1$, liên tiếp cắt để được $\mathcal P_7,\mathcal P_8,\ldots$. Chứng minh với mọi cách thực hiện, $\operatorname{area}(\mathcal P_n)\gt 1/3$ với mọi $n\ge6$.

Với các số thực dương $a,b,c$, chứng minh $$\frac1{a^3+b^3+abc}+\frac1{b^3+c^3+abc}+\frac1{c^3+a^3+abc}\le\frac1{abc}.$$

Các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_{1997}$ thỏa mãn $$a_i+a_j\le a_{i+j}\le a_i+a_j+1$$ với mọi $i,j\ge1$ sao cho $i+j\le1997$. Chứng minh tồn tại số thực $x$ sao cho $a_n=\lfloor nx\rfloor$ với mọi $1\le n\le1997$.