IMC 2023 Lớp 7 — Vòng tuyển chọn

Với hai số thực $x,y$, định nghĩa $x\heartsuit y=xy-3x-3y+12$. Tính $A=1\heartsuit(2\heartsuit(3\heartsuit\cdots(2022\heartsuit2023)\cdots))$.

Các số nguyên không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=2023$. Tính $a^3+b^3+c^3+d^3$.

Có bao nhiêu cách chọn ba số nguyên phân biệt từ $\{2021,2022,\ldots,2030\}$ sao cho trung bình cộng của chúng là một số nguyên?

Điền các số $1,2,3,4,5,6$ vào sáu ô trống, mỗi số đúng một lần. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong hình là bao nhiêu?

Phong đếm từ $3$, mỗi lần tăng $5$ đơn vị. Minh đếm từ $2023$, mỗi lần giảm $4$ đơn vị. Có bao nhiêu số từ $3$ đến $2023$, kể cả hai đầu, được cả hai người đếm?

Hình tròn được chia thành năm hình quạt như hình vẽ. Có bao nhiêu cách tô bằng ba màu cho trước sao cho hai phần cạnh nhau khác màu? Xét năm vị trí cố định trong hình.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $AB=AC$. Các phân giác của $\angle ABC$ và $\angle ACB$ cắt nhau tại $I$. Biết $\angle CIA=130^\circ$, tính $\angle CAB$.

Bình tô mỗi ô của bảng $3\times3$ màu đỏ hoặc xanh. Có bao nhiêu cách tô sao cho mỗi hàng và mỗi cột có không quá một ô xanh?

Số học sinh trong hội trường là số có hai chữ số. Đảo hai chữ số của số này được một số chính phương. Số học sinh lớn nhất có thể là bao nhiêu?

Với số nguyên dương $n$, đặt $n!=1\cdot2\cdots n$. Tính $A=\frac{1!}{2!+3!}+\frac{3!}{4!+5!}+\cdots+\frac{2021!}{2022!+2023!}$.

An có bốn thẻ xanh khác nhau và bốn thẻ đỏ khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn bốn thẻ sao cho có ít nhất một thẻ mỗi màu?

Có bao nhiêu cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn $5pq^2+p=15p^3+q^3+7$?

Các số nguyên $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $\frac{a}{b+c}=2$ và $\frac{b}{c+a}=3$. Tính $a^2+b^2+c^2$.

Trong hình, $AEIG$, $EBHI$, $IHCF$ là các hình chữ nhật và $AHJF$ là hình bình hành. Diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là $3$, $5$, $12$ cm². Tính diện tích hình bình hành $AHJF$ theo cm².

Hình vẽ có tám hình tròn nối bằng các đoạn thẳng; hai hình đã chứa $2$ và $26$. Khải điền sáu hình còn lại sao cho mỗi số được điền là trung bình cộng của các số ở hình bên cạnh. Tính tổng cả tám số. Hai hình tròn là láng giềng khi được nối bằng một đoạn; giao điểm không có hình tròn không phải là một đỉnh.

Đa thức $P(x)$ có mọi hệ số thuộc $\{0,1,2,3,4,5\}$ và thỏa mãn $P(6)=2049$. Tìm hệ số của $x$.

Trên bảng có các số $1,2,\ldots,2023$. An và Bình, bắt đầu từ An, thay phiên xóa một số cho đến khi còn hai số. An thắng nếu tổng hai số cuối chia hết cho $8$; ngược lại Bình thắng. Ai có chiến thuật thắng? Trình bày chiến thuật chi tiết.

Có thể đặt nhiều nhất bao nhiêu mảnh có dạng như hình trên bảng ô vuông $8\times9$ mà không chồng lên nhau? Các mảnh được phép xoay, lật và phủ trọn các ô vuông của bảng. Trình bày chứng minh chi tiết.