IMC 2023 Lớp 7 — Vòng tuyển chọn Câu hỏi 10

Với số nguyên dương $n$, đặt $n!=1\cdot2\cdots n$. Tính $A=\frac{1!}{2!+3!}+\frac{3!}{4!+5!}+\cdots+\frac{2021!}{2022!+2023!}$.