AIME I năm 2003

Cho rằng $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,$ trong đó $k$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ càng lớn càng tốt, hãy tìm $k + n.$

Một trăm đường tròn đồng tâm có bán kính $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $100$ được vẽ trên một mặt phẳng. Phần bên trong của đường tròn bán kính $1$ có màu đỏ và mỗi vùng được giới hạn bởi các vòng tròn liên tiếp có màu đỏ hoặc xanh lục, không có hai vùng liền kề cùng màu. Tỷ lệ của tổng diện tích của các vùng màu lục với diện tích của đường tròn bán kính $100$ có thể được biểu thị bằng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Giả sử tập hợp $\mathcal{S} = \{8, 5, 1, 13, 34, 3, 21, 2\}.$ Susan tạo một danh sách như sau: với mỗi tập hợp con hai phần tử của $\mathcal{S},$, cô ấy viết vào danh sách của mình phần tử lớn hơn trong hai phần tử của tập hợp. Tìm tổng các số trong danh sách.

Cho rằng $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$ và $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} n - 1),$ tìm $n.$

Hãy xem xét tập hợp các điểm nằm bên trong hoặc bên trong một đơn vị của một (hộp) hình chữ nhật có kích thước $3$ x $4$ x $5$ đơn vị. Cho rằng thể tích của tập hợp này là $\frac{m + n\pi}{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương và $n$ và $p$ là các số nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m + n + p.$

Tổng diện tích của tất cả các tam giác có đỉnh cũng là đỉnh của khối lập phương $1$ nhân $1$ nhân $1$ là $m + \sqrt{n} + \sqrt{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên. Tìm $m + n + p.$

Điểm $B$ nằm trên $\overline{AC}$ với $AB = 9$ và $BC = 21.$ Điểm $D$ không nằm trên $\overline{AC}$ nên $AD = CD,$ và $AD$ và $BD$ là số nguyên. Đặt $s$ là tổng tất cả các chu vi có thể có của $\triangle ACD.$ Tìm $s.$

Trong một dãy tăng dần gồm bốn số nguyên dương, ba số hạng đầu tiên tạo thành một cấp số cộng, ba số hạng cuối tạo thành một cấp số nhân, số hạng thứ nhất và thứ tư khác nhau bởi $30.$ Tìm tổng của bốn số hạng.

Một số nguyên nằm giữa $1000$ và $9999,$, được gọi là *cân bằng* nếu tổng của hai chữ số ngoài cùng bên trái của nó bằng tổng của hai chữ số ngoài cùng bên phải của nó. Có bao nhiêu số nguyên cân bằng?

Tam giác $ABC$ là cân với $AC = BC$ và $\angle ACB = 106^\circ.$ Điểm $M$ nằm bên trong tam giác sao cho $\angle MAC = 7^\circ$ và $\angle MCA = 23^\circ.$ Tìm số độ trong $\angle CMB.$

Một góc $x$ được chọn ngẫu nhiên từ khoảng $0^\circ \lt x \lt 90^\circ.$ Giả sử $p$ là xác suất sao cho các số $\sin^2 x,$ $\cos^2 x,$ và $\sin x \cos x$ *không* là độ dài các cạnh của một tam giác. Cho rằng $p = \frac{d}{n},$ trong đó $d$ là số độ trong $\arctan m$ và $m$ và $n$ là các số nguyên dương với $m + n \lt 1000,$ tìm $m + n.$

Trong tứ giác lồi $ABCD,$ $\angle A \cong \angle C,$ $AB = CD = 180,$ và $AD \ne BC.$ chu vi của $ABCD$ là $640.$ Tìm $\lfloor 1000 \cos A \rfloor.$ (Ký hiệu $\lfloor x \rfloor$ có nghĩa là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)

Đặt $N$ là số số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $2003$ và có biểu diễn cơ sở-$2$ có nhiều $1$ hơn $0$. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Biểu diễn thập phân của $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố và $m \lt n,$ chứa các chữ số $2,$ $5,$ và $1$ liên tiếp và theo thứ tự đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ mà điều này có thể xảy ra.

Trong $\triangle ABC,$ $AB = 360,$ $BC = 507,$ và $CA = 780.$ Đặt $M$ là trung điểm của $\overline{CA},$ và đặt $D$ là điểm trên $\overline{CA}$ sao cho $\overline{BD}$ chia đôi góc $ABC.$ Đặt $F$ là điểm trên $\overline{BC}$ sao cho $\overline{DF} \perp \overline{BD}.$ Giả sử rằng $\overline{DF}$ đáp ứng $\overline{BM}$ tại $E.$ Tỷ lệ $DE : EF$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$