AIME II năm 2003

Tích $N$ của ba số nguyên dương là $6$ nhân với tổng của chúng và một trong các số nguyên là tổng của hai số nguyên còn lại. Tìm tổng tất cả các giá trị có thể có của $N.$

Đặt $N$ là số nguyên lớn nhất bội số của $8,$ không có hai chữ số nào giống nhau. số dư là gì khi $N$ được chia cho $1000?$

Xác định một *từ tốt* là một chuỗi các chữ cái chỉ bao gồm các chữ cái $A,$ $B,$ và $C$ — một số chữ cái này có thể không xuất hiện trong chuỗi — và trong đó $A$ không bao giờ được theo sau bởi $B,$ $B$ ngay sau đó $C,$ và $C$ không bao giờ được theo sau bởi $A.$ Có bao nhiêu từ hay có bảy chữ cái?

Trong một tứ diện đều, tâm của bốn mặt là các đỉnh của một tứ diện nhỏ hơn. Tỷ lệ của thể tích của tứ diện nhỏ hơn so với tứ diện lớn hơn là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Một khúc gỗ hình trụ có đường kính $12$ inch. Một cái nêm được cắt từ khúc gỗ bằng cách thực hiện hai vết cắt phẳng xuyên suốt khúc gỗ. Đường cắt thứ nhất vuông góc với trục của hình trụ và mặt phẳng của vết cắt thứ hai tạo thành một góc $45^\circ$ với mặt phẳng của vết cắt thứ nhất. Giao điểm của hai mặt phẳng này có đúng một điểm chung với khúc gỗ. Số inch khối trong hình nêm có thể được biểu thị bằng $n\pi,$ trong đó $n$ là số nguyên dương. Tìm $n.$

Trong $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ $AC = 15,$ và điểm $G$ là giao điểm của các đường trung tuyến. Các điểm $A',$ $B',$ và $C'$ lần lượt là ảnh của $A,$ $B,$ và $C,$ sau một vòng quay $180^\circ$ quanh $G.$ diện tích của hợp của hai miền được bao bọc bởi các tam giác $ABC$ và $A'B'C'?$

Tìm diện tích của hình thoi $ABCD$ biết rằng bán kính của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ và $ACD$ lần lượt là $12.5$ và $25,$.

Tìm số hạng thứ tám của dãy $1440,$ $1716,$ $1848,$ $\ldots,$ có các số hạng được hình thành bằng cách nhân các số hạng tương ứng của hai dãy số học.

Xét các đa thức $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ và $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1.$ Cho rằng $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ và $z_4$ là nghiệm của $Q(x) = 0,$ tìm $P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4).$

Hai số nguyên dương khác nhau bởi $60.$ Tổng căn bậc hai của chúng là căn bậc hai của một số nguyên không phải là số chính phương. Tổng lớn nhất có thể có của hai số nguyên là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ là tam giác vuông có $AC = 7,$ $BC = 24,$ và góc vuông tại $C.$ Điểm $M$ là trung điểm của $\overline{AB},$ và $D$ nằm cùng một phía của đường thẳng $AB$ dưới dạng $C$ sao cho $AD = BD = 15.$ Cho rằng diện tích của $\triangle CDM$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên dương, $m$ và $p$ là các số nguyên tố cùng nhau và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $m + n + p.$

Các thành viên của một ủy ban đặc biệt đang chọn một chủ tịch và mỗi thành viên sẽ đưa một phiếu bầu cho một trong các ứng cử viên $27$. Đối với mỗi ứng cử viên, tỷ lệ phần trăm phiếu bầu chính xác mà ứng cử viên nhận được nhỏ hơn ít nhất $1$ so với số phiếu bầu cho ứng cử viên đó. Số lượng thành viên nhỏ nhất có thể có của ủy ban là bao nhiêu?

Lỗi bắt đầu từ đỉnh của tam giác đều. Trong mỗi lần di chuyển, nó chọn ngẫu nhiên một trong hai đỉnh mà nó hiện không nằm ở đó và bò dọc theo một cạnh của tam giác đến đỉnh đó. Cho rằng xác suất mà con bọ di chuyển đến đỉnh bắt đầu ở lần di chuyển thứ mười của nó là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố, hãy tìm $m + n.$

Đặt $A = (0, 0)$ và $B = (b, 2)$ là các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Giả sử $ABCDEF$ là một hình lục giác đều lồi sao cho $\angle FAB = 120^\circ,$ $\overline{AB} \parallel \overline{DE},$ $\overline{BC} \parallel \overline{EF},$ $\overline{CD} \parallel \overline{FA},$ và tọa độ $y$ của các đỉnh của nó là các phần tử riêng biệt của tập hợp $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}.$ diện tích của hình lục giác có thể được viết dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$

Đặt $$
\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}
$$ Đặt $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_r$ là các số 0 riêng biệt của $P(x),$ và đặt $z_k^2 = a_k + b_k i$ cho $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $r,$ trong đó $i = \sqrt{-1},$ và $a_k$ và $b_k$ là số thực. Đặt $$
\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},
$$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên và $p$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$