AIME II năm 2001

Cho $N$ là số nguyên dương lớn nhất có tính chất sau: đọc từ trái sang phải, mỗi cặp chữ số liên tiếp của $N$ tạo thành một số chính phương. Ba chữ số ngoài cùng bên trái của $N?$ là gì

Mỗi học sinh $2001$ tại một trường trung học học tiếng Tây Ban Nha hoặc tiếng Pháp và một số học cả hai. Số người học tiếng Tây Ban Nha nằm trong khoảng từ $80$ phần trăm đến $85$ phần trăm học sinh trong trường và số người học tiếng Pháp là từ $30$ phần trăm đến $40$ phần trăm. Gọi $m$ là số học sinh nhỏ nhất có thể học cả hai ngôn ngữ và gọi $M$ là số học sinh lớn nhất có thể học cả hai ngôn ngữ. Tìm $M - m.$

Bốn số hạng đầu tiên là $x_1 = 211,$ $x_2 = 375,$ $x_3 = 420,$ và $x_4 = 523.$ Cho $n \ge 5,$ $$
\begin{aligned} x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4}. \end{aligned}
$$ Tìm giá trị của $x_{531} + x_{753} + x_{975}.$

Đặt $R = (8, 6).$ Các đường thẳng có phương trình $8y = 15x$ và $10y = 3x$ lần lượt chứa các điểm $P$ và $Q,$ sao cho $R$ là trung điểm của $\overline{PQ}.$ Độ dài $PQ$ bằng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Một tập hợp các số dương có *thuộc tính tam giác* nếu nó có ba phần tử riêng biệt là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích là dương. Xem xét các tập hợp $\{4, 5, 6, \ldots, n\}$ gồm các số nguyên dương liên tiếp, tất cả các tập hợp con gồm 10 phần tử của chúng đều có thuộc tính tam giác. Giá trị lớn nhất có thể có của $n?$ là bao nhiêu

Hình vuông $ABCD$ được nội tiếp trong một vòng tròn. Hình vuông $EFGH$ có các đỉnh $E$ và $F$ trên $\overline{CD}$ và các đỉnh $G$ và $H$ trên đường tròn. Tỷ lệ của diện tích của hình vuông $EFGH$ với diện tích của hình vuông $ABCD$ có thể được biểu thị bằng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố và $m \lt n.$ Tìm $10n + m.$

Đặt $\triangle PQR$ là tam giác vuông với $PQ = 90,$ $PR = 120,$ và $QR = 150.$ Đặt $C_1$ là đường tròn nội tiếp. Dựng $\overline{ST},$ với $S$ trên $\overline{PR}$ và $T$ trên $\overline{QR},$ sao cho $\overline{ST}$ vuông góc với $\overline{PR}$ và tiếp tuyến với $C_1.$ Dựng $\overline{UV}$ với $U$ trên $\overline{PQ}$ và $V$ trên $\overline{QR}$ sao cho $\overline{UV}$ vuông góc với $\overline{PQ}$ và tiếp tuyến với $C_1.$ Giả sử $C_2$ là đường tròn nội tiếp của $\triangle RST$ và $C_3$ đường tròn nội tiếp của $\triangle QUV.$ Khoảng cách giữa tâm của $C_2$ và $C_3$ có thể được viết là $\sqrt{10n}.$ $n?$ là gì

Một hàm nhất định $f$ có các thuộc tính $f(3x) = 3f(x)$ cho tất cả các giá trị thực dương của $x,$ và $f(x) = 1 - |x - 2|$ cho $1 \le x \le 3.$ Tìm $x$ nhỏ nhất mà $f(x) = f(2001).$

Mỗi ô vuông đơn vị của lưới ô vuông đơn vị $3$-by-$3$ phải được tô màu xanh lam hoặc đỏ. Đối với mỗi hình vuông, một trong hai màu đều có khả năng được sử dụng như nhau. xác suất để có được một lưới không có hình vuông màu đỏ $2$-by-$2$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Có bao nhiêu bội số nguyên dương của $1001$ có thể được biểu thị dưới dạng $10^{j} - 10^{i},$ trong đó $i$ và $j$ là số nguyên và $0 \le i \lt j \le 99?$

Club Truncator tham gia một giải đấu bóng đá với sáu đội khác, mỗi đội thi đấu một lần. Trong bất kỳ trận đấu $6$ nào, xác suất Club Truncator sẽ thắng, thua hoặc hòa lần lượt là $\frac{1}{3}.$ xác suất mà Club Truncator sẽ kết thúc mùa giải với nhiều trận thắng hơn thua là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Cho một tam giác, *tam giác trung điểm* của nó có được bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của nó. Dãy đa diện $\mathcal{P}_i$ được định nghĩa đệ quy như sau: $\mathcal{P}_0$ là một tứ diện đều có thể tích là $1.$ Để có $\mathcal{P}_{i+1},$ thay thế tam giác trung điểm của mọi mặt của $\mathcal{P}_i$ bằng một tứ diện đều hướng ra ngoài có trung điểm hình tam giác làm khuôn mặt. thể tích của $\mathcal{P}_3$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Trong tứ giác $ABCD,$ $\angle BAD \cong \angle ADC$ và $\angle ABD \cong \angle BCD,$ $AB = 8,$ $BD = 10,$ và $BC = 6.$ Độ dài $CD$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Có $2n$ số phức thỏa mãn cả $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ và $|z| = 1.$ Những số này có dạng $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},$ trong đó $0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360$ và các góc được đo bằng độ. Tìm giá trị của $\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.$

Đặt $EFGH,$ $EFDC,$ và $EHBC$ là ba mặt vuông liền kề của hình lập phương, trong đó $EC = 8,$ và đặt $A$ là đỉnh thứ tám của hình lập phương. Đặt $I,$ $J,$ và $K$ lần lượt là các điểm trên $\overline{EF},$ $\overline{EH},$ và $\overline{EC},$ sao cho $EI = EJ = EK = 2.$ Chất rắn $S$ thu được bằng cách khoan một đường hầm xuyên qua khối lập phương. Các cạnh của đường hầm là các mặt phẳng song song với $\overline{AE},$ và chứa các cạnh $\overline{IJ},$ $\overline{JK},$ và $\overline{KI}.$ Bề mặt diện tích của $S,$ bao gồm các bức tường của đường hầm, là $m + n\sqrt{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên dương và $p$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$