SMO 2022 - Open - Vòng 1

Nếu $S=\displaystyle\sum_{k=-2021}^{2021}\frac1{10^k+1}$, tính $\lfloor2S\rfloor$.

Các số nguyên dương $1,2,3,4,\ldots$ được chia nhóm như sau: $G_1=\{1,2\}$, $G_2=\{3,4,5,6\}$, $G_3=\{7,8,9,10,11,12,13,14\}$; tức là $G_n$ chứa $2^n$ số nguyên dương kế tiếp, xếp tăng dần sau nhóm $G_{n-1}$, với $n\gt 1$. Nếu $S$ là tổng mọi số nguyên dương từ $G_1$ đến $G_8$, tính $\lfloor S/100\rfloor$.

Một dãy một trăm số nguyên dương $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{100}$ thỏa $$(x_1)^2+(2x_2)^2+(3x_3)^2+\cdots+(100x_{100})^2=338350.$$ Tìm giá trị lớn nhất của $x_1+x_2+\cdots+x_{100}$.

Cho hai số thực $a\lt b$ sao cho với mọi số thực $m$ thỏa $a\lt m\lt b$, đường tròn $x^2+(y-m)^2=25$ cắt parabol $4y=x^2$ tại bốn điểm phân biệt trong mặt phẳng tọa độ. Gọi $S$ là giá trị lớn nhất có thể của $b-a$. Tính $\lfloor4S\rfloor$.

Điểm $P$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$, có $PA=10$, $PB=14$, $PD=5$ như hình dưới. Tính $\lfloor PC\rfloor$.

Trong hình dưới, hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $180$; hai tam giác $ABE$, $ADF$ đều có diện tích $60$. Tính diện tích tam giác $AEF$.

Một tứ diện trong $\mathbb R^3$ có một đỉnh tại gốc $O$, các đỉnh còn lại là $A(6,0,0)$, $B(4,2,4)$, $C(3,2,6)$. Nếu $x$ là chiều cao từ $O$ đến mặt phẳng $ABC$, tính $\lfloor5x^2\rfloor$.

Cho các số thực $x,y$ thỏa $(x-2)^2+(y-3)^2=4$. Nếu $S$ là giá trị lớn nhất của $x^2+y^2$, tính $\lfloor(S-17)^2\rfloor$.

Gọi $S$ là giá trị lớn nhất của $w^3-3w$ dưới điều kiện $w^4+9\le10w^2$. Tính $\lfloor S\rfloor$.

Trong tứ giác $ABCD$ dưới đây, cho $AB=BC=CD$, $\angle ABC=80^\circ$, $\angle BCD=160^\circ$. Nếu $\angle ADC=x^\circ$, tìm $x$.

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa $ab+c=49$, $a+bc=50$. Tìm giá trị lớn nhất của $abc$.

Tìm giá trị lớn nhất của $|a|+|b|$, trong đó $a,b$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau (không có ước chung lớn hơn $1$), sao cho $a/b$ là nghiệm của $$\sqrt{4x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1.$$

Gọi $S$ là tập các nghiệm thực $(x,y,z)$ của hệ $$\frac{4x^2}{1+4x^2}=y,\qquad\frac{4y^2}{1+4y^2}=z,\qquad\frac{4z^2}{1+4z^2}=x.$$ Với mỗi $(x,y,z)\in S$, đặt $m(x,y,z)=2000(|x|+|y|+|z|)$. Tìm giá trị lớn nhất của $m(x,y,z)$ trên $S$.

Giả sử $t$ là nghiệm dương của phương trình $$t=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+t}}}}.$$ Tính $t^4-t^3-t+10$.

Trong tam giác $ABC$ ở hình dưới, các phân giác ngoài tại $B,C$ gặp nhau tại $D$. Tiếp tuyến từ $D$ đến đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc tại $E$, trong đó $E,B$ cùng phía đối với đường thẳng $AD$. Biết $\angle BEC=112^\circ$. Tính góc $A$ theo độ.

Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho $n^2+5n-9486=10s(n)$, trong đó $s(n)$ là tích mọi chữ số của $n$ trong biểu diễn thập phân. (Chẳng hạn, $s(481)=4\times8\times1=32$.)

Tìm số nghiệm nguyên của phương trình $19x+93y=4xy$.

Tìm số nghiệm nguyên của $x_1+x_2-x_3=20$ với $x_1\ge x_2\ge x_3\ge0$.

Trong hình dưới, điểm $E$ nằm ngoài hình vuông $ABCD$ sao cho $CE$ song song $BD$, $BE=BD$, và $BE$ cắt $CD$ tại $H$. Biết $BE=\sqrt{6}+\sqrt{2}$, tìm độ dài $DH$.

Hình dưới biểu diễn miền $R=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y\ge\tfrac12x^2\}$ trên mặt phẳng $xy$, giới hạn bởi parabol $y=\tfrac12x^2$. Gọi $C_1$ là đường tròn lớn nhất nằm trong $R$ có điểm thấp nhất tại gốc. Gọi $C_2$ là đường tròn lớn nhất nằm trong $R$ và nằm tựa trên $C_1$. Tìm tổng hai bán kính.