SMO 2021 - Open - Vòng 1

Cho $\frac\pi2\lt \beta\lt \alpha\lt \frac{3\pi}4$, $\cos(\alpha-\beta)=\frac{12}{13}$ và $\sin(\alpha+\beta)=-\frac35$. Tìm $\lfloor|2021\sin(2\alpha)|\rfloor$.

Tìm số nghiệm của phương trình $|x-3|+|x-5|=2$.

(Chú ý: Nếu cho rằng có vô số nghiệm, hãy ghi đáp án là “99999”.)

Tính $1\times2\times3+2\times3\times4+3\times4\times5+\cdots+10\times11\times12$.

Biết tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{81-x^4}\le kx+1$ là $a\le x\le b$, với $b-a=2$ và $k>0$. Tìm $\lfloor k\rfloor$.

Hình dưới biểu diễn một hình chữ thập được cắt từ tấm bảng chữ nhật $10\times9$.



Tìm tổng số hình chữ nhật trong hình.

(Chú ý: Hình vuông cũng là hình chữ nhật.)

Xét mọi đa thức hai biến $P(x,y)$ thỏa $P(0,0)=2020$ và với mọi $x,y$, $P(x,y)=P(x+y,y-x)$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $P(1,1)$.

Trong không gian Descartes ba chiều, với $\mathbf i$, $\mathbf j$, $\mathbf k$ là các vectơ đơn vị dọc ba phương vuông góc theo chiều kim đồng hồ, đường thẳng $\ell$ có phương trình $\mathbf r\times(\mathbf i+2\mathbf j+3\mathbf k)=5\mathbf i-13\mathbf j+7\mathbf k$ cắt mặt phẳng $\Pi$ có phương trình $x+y+z=16$ tại điểm $(a,b,c)$. Tìm $a+b+c$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $(x+7)^2+(y+2)^2$ với điều kiện $(x-5)^2+(y-7)^2=4$.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của $\alpha^4+\beta^4+\gamma^4$ trong mọi bộ số $(\alpha,\beta,\gamma)$ thỏa hệ
$$\begin{aligned}\alpha+\beta+\gamma&=2,\\\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=14,\\\alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=20.\end{aligned}$$

Nếu $p$ là tích tất cả các nghiệm thực khác không của phương trình $$\sqrt[9]{x^7+30x^5}=\sqrt[7]{x^9-30x^5},$$ tìm $\lfloor|p|\rfloor$.

Cho $S$ là tổng một chuỗi cấp số nhân hội tụ có số hạng đầu $1$. Nếu số hạng thứ ba bằng trung bình cộng của hai số hạng đầu, tìm $\lfloor3S+4\rfloor$.

Biết $\sin\alpha+\sin\beta=\frac1{10}$ và $\cos\alpha+\cos\beta=\frac19$, tìm $\lfloor\tan^2(\alpha+\beta)\rfloor$.

Xác định số lượng số nguyên dương chia hết cho $2021$ và có đúng $2021$ ước (kể cả $1$ và chính nó).

Cho $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{25}\binom{100}{4k}-2^{98}$. Tìm $\left\lfloor\left|\dfrac{S}{2^{48}}\right|\right\rfloor$.

Giả sử $ABC$ là tam giác nhọn, $\sin(A+B)=\frac35$, $\sin(A-B)=\frac15$. Nếu $AB=2022(\sqrt6-2)$, tìm $\lfloor h\rfloor$, trong đó $h$ là chiều cao từ $C$ xuống $AB$.

Cho dãy $a_1,a_2,\ldots$ với $a_1=1$ và $a_{n+1}=\frac{n+2}{n}S_n$ với mọi $n=1,2,\ldots$, trong đó $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$. Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho $a_n\ge2021$.

Mỗi lá trong chồng $101$ lá bài có một mặt màu đỏ, mặt kia màu xanh. Ban đầu mọi lá đều ngửa mặt đỏ và xếp thành một chồng. Mỗi lượt, Ah Meng lấy $8$ lá trên cùng, lật chúng rồi đặt xuống dưới cùng chồng bài. Xác định số lượt ít nhất để mọi lá lại ngửa mặt đỏ.

Cho tam giác $ABC$ với $AB=10$ và $\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{AC}{BC}=\frac43$. Gọi $P$ là một điểm trên đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $PA^2+PB^2+PC^2$.

Một giỏ có $19$ quả táo gắn nhãn $2,3,\ldots,20$ và $19$ quả chuối gắn nhãn $2,3,\ldots,20$. Ah Beng chọn $m$ quả táo và $n$ quả chuối. Tuy nhiên, với mọi quả táo nhãn $a$ và quả chuối nhãn $b$ đã chọn, anh phải bảo đảm $a,b$ nguyên tố cùng nhau. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $mn$.

Cho đa thức $p(x)=ax^2-bx+c$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên dương và $p(x)$ có hai nghiệm phân biệt trong $(0,1)$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $abc$.