Câu hỏi 1
Tính tổng sau: $$\frac12+\frac24+\frac38+\frac4{16}+\cdots+\frac{10}{2^{10}}.$$
SMO 2011 - Junior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Biết rằng các nghiệm của phương trình $$x^5+3x^4-4044118x^3-12132362x^2-12132363x-2011^2=0$$ đều là số nguyên. Phương trình có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
Câu hỏi 3
Gieo một con xúc xắc cân đối ba lần. Kết quả lần gieo thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là $x,y,z$. Giả sử $x+y=z$. Xác suất để ít nhất một trong $x,y,z$ bằng $2$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 4
Cho $$x=1\underbrace{00\cdots0}_{2011}\,1\underbrace{00\cdots0}_{2012}\,50.$$
Hai khối được chỉ ra lần lượt gồm $2011$ và $2012$ chữ số 0. Số nào sau đây là số chính phương?
Hai khối được chỉ ra lần lượt gồm $2011$ và $2012$ chữ số 0. Số nào sau đây là số chính phương?
Câu hỏi 5
Cho $N_1,N_2,\ldots,N_{2011}$ là các số nguyên dương. Đặt
$$X=(N_1+N_2+\cdots+N_{2010})(N_2+N_3+\cdots+N_{2011}),$$
$$Y=(N_1+N_2+\cdots+N_{2011})(N_2+N_3+\cdots+N_{2010}).$$
Quan hệ nào sau đây luôn đúng?
$$X=(N_1+N_2+\cdots+N_{2010})(N_2+N_3+\cdots+N_{2011}),$$
$$Y=(N_1+N_2+\cdots+N_{2011})(N_2+N_3+\cdots+N_{2010}).$$
Quan hệ nào sau đây luôn đúng?
Câu hỏi 6
Xét đường cong hình quả trứng sau. $ABCD$ là đường tròn bán kính 1 có tâm $O$. Cung $\widehat{AE}$ có tâm $C$, cung $\widehat{CF}$ có tâm $A$, và cung $\widehat{EF}$ có tâm $D$.
Diện tích miền được bao bởi đường cong hình quả trứng là bao nhiêu?
Diện tích miền được bao bởi đường cong hình quả trứng là bao nhiêu?
Câu hỏi 7
Hình vành khăn sau được chia thành 14 miền. Mỗi miền được tô một màu. Cần ít nhất bao nhiêu màu để tô sao cho không có hai miền kề nhau nào cùng màu?
Câu hỏi 8
Cho $n=(2^4-1)(3^6-1)(5^{10}-1)(7^{12}-1)$. Phát biểu nào sau đây đúng?
Câu hỏi 9
Có bao nhiêu cách đặt một quân mã trắng và một quân mã đen trên bàn cờ $8\times8$ sao cho chúng không khống chế nhau?
Câu hỏi 10
Trong tập $\{1,6,7,9\}$, những số nào xuất hiện ở chữ số tận cùng của $n^n$ với vô hạn số nguyên dương $n$?
Câu hỏi 11
Cho $\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=\sqrt2$ và $\dfrac ax+\dfrac by+\dfrac cz=0$. Tính $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}.$$
Câu hỏi 12
Cho $x=\dfrac{13}{\sqrt{19+8\sqrt3}}$. Tìm giá trị chính xác của $$\frac{x^4-6x^3-2x^2+18x+23}{x^2-8x+15}.$$
Câu hỏi 13
Cho $a_1=3$ và xác định $a_{n+1}=\dfrac{\sqrt3a_n-1}{a_n+\sqrt3}$ với mọi số nguyên dương $n$. Tìm $a_{2011}$.
Câu hỏi 14
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn
$$\begin{cases}a^2+ab+b^2=25,\\b^2+bc+c^2=49,\\c^2+ca+a^2=64.\end{cases}$$
Tính $(a+b+c)^2$.
$$\begin{cases}a^2+ab+b^2=25,\\b^2+bc+c^2=49,\\c^2+ca+a^2=64.\end{cases}$$
Tính $(a+b+c)^2$.
Câu hỏi 15
Cho $P(x)$ là đa thức bậc 2010. Giả sử $P(n)=\dfrac n{1+n}$ với mọi $n=0,1,2,\ldots,2010$. Tìm $P(2012)$.
Câu hỏi 16
Ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Phương trình $$x^3-\lfloor x^3\rfloor=(x-\lfloor x\rfloor)^3$$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[1,20]$?
Câu hỏi 17
Gọi $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 2011. Số $n$ có bao nhiêu chữ số?
Câu hỏi 18
Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho $n+10$ là ước của $n^3+2011$.
Câu hỏi 19
Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn
$$\begin{cases}a^2+b^2+2a-4b+4=0,\\c^2+d^2-4c+4d+4=0.\end{cases}$$
Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $(a-c)^2+(b-d)^2$. Tính $m\times M$.
$$\begin{cases}a^2+b^2+2a-4b+4=0,\\c^2+d^2-4c+4d+4=0.\end{cases}$$
Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $(a-c)^2+(b-d)^2$. Tính $m\times M$.
Câu hỏi 20
Cho $x_1,x_2,\ldots,x_{2011}$ là các số nguyên dương thỏa mãn
$$x_1+x_2+\cdots+x_{2011}=x_1x_2\cdots x_{2011}.$$
Tìm giá trị lớn nhất của $x_1+x_2+\cdots+x_{2011}$.
$$x_1+x_2+\cdots+x_{2011}=x_1x_2\cdots x_{2011}.$$
Tìm giá trị lớn nhất của $x_1+x_2+\cdots+x_{2011}$.