SMO 2008 - Open - Vòng 1

Tìm số tập con ba phần tử của $\{1,2,3,\ldots,120\}$ mà tổng ba phần tử là bội của $3$.

Có $10$ học sinh tham dự một cuộc thi toán. Sau cuộc thi, họ nhận ra mỗi người giải đúng $3$ bài và hai người bất kỳ cùng giải ít nhất một bài. Số học sinh giải bài được nhiều người giải nhất có thể nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Tính $\displaystyle\sum_{n=1}^{6237}\lfloor\log_2 n\rfloor$, trong đó $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Tìm số ước nguyên dương của $998^{49999}$ nhưng không phải ước của $998^{49998}$.

Cho đa thức $p(x)$ với hệ số thực thỏa $2(1+p(x))=p(x-1)+p(x+1)$ với mọi $x$ thực, và $p(0)=8$, $p(2)=32$. Tính $p(40)$.

Trong tam giác $ABC$, $AC=2BC$, $\angle C=90^\circ$, và $D$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$. Đường tròn đường kính $AD$ cắt đoạn $AC$ tại $E$. Tìm tỉ số $AE:EC$.

Trong tam giác $ABC$, $AB=8$, $BC=7$, $CA=6$. Điểm $E$ thuộc $BC$ sao cho $\angle BAE=3\angle EAC$. Tính $4AE^2$.

Trong tam giác $ABC$, các phân giác góc $A$ và góc $B$ gặp nhau tại tâm nội tiếp $I$. Tia $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $D$. Gọi $P$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $AD$, và $Q$ là điểm trên phần kéo dài của $AD$ sao cho $ID=DQ$. Tính $\dfrac{BQ\cdot IB}{BP\cdot ID}$.

Trong tứ giác lồi $ABCD$, $\angle BAC=\angle CAD$, $\angle ABC=\angle ACD$. Các đường thẳng $AD$, $BC$ cắt nhau tại $E$; các đường thẳng $AB$, $DC$ cắt nhau tại $F$. Tính $\dfrac{AB\cdot DE}{BC\cdot CE}$.

Với số nguyên dương $n$, đặt $N_n=\{1,2,3,\ldots,n\}$. Giả sử $n\ge10$. Tìm $n$ lớn nhất sao cho $\displaystyle\min_{\substack{a,b\in A\\a\ne b}}|a-b|\le10$ với mọi $A\subseteq N_n$ có $|A|\ge10$.

Có bao nhiêu số có bốn chữ số lớn hơn $5000$ được lập từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$, nếu chỉ chữ số $4$ được phép lặp lại?

Ba bạn gái $A,B,C$ và chín bạn trai được xếp thành một hàng. Gọi $n$ là số cách xếp nếu $B$ phải nằm giữa $A$ và $C$, còn $A,B$ cách nhau đúng bốn bạn trai. Tính $\lfloor n/7!\rfloor$.

Tìm số tập con bốn phần tử $\{a,b,c,d\}$ của $\{1,2,3,\ldots,20\}$ sao cho $a+b+c+d$ chia hết cho $3$.

Có bao nhiêu số có ba chữ số từ $100$ đến $999$ có đúng hai chữ số liên tiếp giống nhau?

Tìm số tự nhiên lớn nhất chia hết cho $30$ và có đúng $30$ ước nguyên dương khác nhau.

Tìm số chữ số $0$ ở tận cùng của tích $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots2008$.

Gọi $a_k$ là hệ số của $x^k$ trong $(1+2x)^{100}$, với $0\le k\le100$. Tìm số số nguyên $r$ thỏa $0\le r\le99$ và $a_r\lt a_{r+1}$.

Gọi $a_k$ là hệ số của $x^k$ trong $(x+1)+(x+1)^2+\cdots+(x+1)^{99}$. Tính $\lfloor a_4/a_3\rfloor$.

Cho năm số $a,b,c,d,e$ thỏa $a+b+c+d+e=0$ và $abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde=2008$. Tính $a^3+b^3+c^3+d^3+e^3$.

Cho dãy số hữu tỉ $a_1,a_2,\ldots$ với $a_1=2$ và $a_{n+1}=(1+a_n)/(1-a_n)$ khi $n\ge1$. Tính $30a_{2008}$.