SMO 2007 - Open - Vòng 1

Cho $A$ là một tập con có $k$ phần tử bất kỳ của $\{1,2,3,\ldots,100\}$. Tìm $k$ nhỏ nhất để luôn có hai số $a,b$ trong $A$ thỏa $|a-b|\le4$.

Tìm số dãy nhị phân gồm mười chữ số $0$ và mười chữ số $1$, không chứa ba chữ số $0$ liên tiếp.

Cho $A$ là một tập gồm $20$ điểm bất kỳ trên một đường tròn. Nối mỗi cặp điểm của $A$ được một dây cung. Giả sử không có ba dây cung nào như vậy đồng quy. Tìm số miền bên trong đường tròn được tạo bởi tất cả các dây cung này.

Trong mỗi số tự nhiên có bảy chữ số $1001011$, $5550000$, $3838383$, $7777777$, mọi chữ số có mặt đều xuất hiện ít nhất ba lần. Tìm số số tự nhiên có bảy chữ số thỏa tính chất này.

Cho $A=\{1,2,\ldots,1000\}$. Gọi $m$ là số tập con hai phần tử $\{a,b\}$ của $A$ sao cho $ab$ chia hết cho $6$. Tìm $\lfloor m/10\rfloor$, trong đó $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Tìm số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình $x+y+z+u\le20$.

Có bao nhiêu cách trao bảy giải thưởng khác nhau cho năm học sinh sao cho mỗi học sinh nhận ít nhất một giải?

Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D,E$ lần lượt thuộc các đoạn $AB,BC$, với $AD=7DB$, $BE=10EC$. Hai đường $AE,CD$ cắt nhau tại $F$. Tìm $\lfloor k\rfloor$, trong đó $AF=k\cdot FE$.

Cho $S=\{1,2,\ldots,50\}$. Một tập con ba phần tử $\{a,b,c\}$ được gọi là tốt nếu $a+b+c$ chia hết cho $3$. Tìm số tập con tốt của $S$.

Cho các số nguyên dương $x_1,\ldots,x_{1970}$ thỏa $x_1+\cdots+x_{1970}=2007$. Tìm giá trị lớn nhất của $x_1^3+\cdots+x_{1970}^3$.

Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho tồn tại các số thực $b,c$ thỏa $a^2-bc-8a+7=0$ và $b^2+c^2+bc-6a+6=0$.

Tìm số số nguyên phân biệt trong các số $\left\lfloor1^2/2007\right\rfloor,\left\lfloor2^2/2007\right\rfloor,\ldots,\left\lfloor2007^2/2007\right\rfloor$.

Tìm số cặp số nguyên $(a,b)$ với $1\le b\lt a\le200$ sao cho $(a+b)+(a-b)+ab+a/b$ là bình phương của một số.

Trong tam giác nhọn $ABC$, $D,E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $A,B,C$ xuống $BC,AC,AB$. Biết $\sin A=3/5$, $BC=39$. Tính $AH$, với $H=AD\cap BE$.

Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$, và $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AO,BC$. Biết $\angle CBA=4\angle OPQ$, $\angle ACB=6\angle OPQ$. Tính số đo $\angle OPQ$ theo độ.

Trong tam giác $ABC$, $AC\gt AB$. Phân giác trong của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$, và $E$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $AD$. Biết $AB=5$, $BE=4$, $AE=3$. Tính $\dfrac{AC+AB}{AC-AB}\,ED$.

Tính $\displaystyle\prod_{k=1}^{45}\tan(2k-1)^\circ$.

Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có các cạnh $50,120,130$.

Giả sử $0\lt a\lt b\lt c\lt d=2a$ và
$$(d-a)\left(\frac{a^2}{b-a}+\frac{b^2}{c-b}+\frac{c^2}{d-c}\right)=(a+b+c)^2.$$
Tính $bcd/a^3$.

Cho $f$ thỏa $f(x)-\frac12f(1/x)=\log x$ với mọi $x\gt 0$, trong đó logarit có cơ số $10$. Tính $f(1000)$.