SMO 2005 - Open - Vòng 1

Tìm ba chữ số cuối của $9^{100}-1$.

Hai đường tròn $C_1,C_2$ có bán kính lần lượt là $3,7$ và cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$. Điểm $P$ nằm ngoài $C_2$, trên đường thẳng $AB$, và cách tâm của $C_1$ một khoảng bằng $5$. Chọn $Q$ trên $C_2$ sao cho $PQ$ tiếp xúc với $C_2$ tại $Q$. Tìm độ dài $PQ$.

Tìm số nguyên dương lớn nhất $n$ sao cho $n!$ có đúng $100$ chữ số 0 tận cùng.

Tìm giá trị lớn nhất của $3k$ để phương trình sau có nghiệm thực:

$$\sqrt{x^2-k}+2\sqrt{x^2-1}=x.$$

Tìm hai chữ số cuối (theo đúng thứ tự) của $7^{3^{2005}}$.

Chọn tùy ý $k$ số trong $2005$ số tự nhiên đầu tiên. Giá trị nhỏ nhất của $k$ là bao nhiêu để luôn có ít nhất một cặp mà số này chia hết cho số kia?

Cho $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$, trong đó các $a_i$ là số nguyên không âm với $i=0,1,\ldots,n$. Nếu $f(1)=21$ và $f(25)=78357$, hãy tính $f(10)$.

Nếu số thực $x$ thỏa mãn

$$\left\lfloor x+\frac{11}{100}\right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{12}{100}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor x+\frac{99}{100}\right\rfloor=765,$$

hãy tìm $\lfloor100x\rfloor$. Ký hiệu $\lfloor a\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$.

Hàm $f(n)$ xác định với mọi số nguyên dương $n$, nhận giá trị nguyên không âm, thỏa $f(2)=0$, $f(3)>0$, $f(9999)=3333$. Ngoài ra, với mọi số nguyên dương $m,n$,

$$f(m+n)-f(m)-f(n)\in\{0,1\}.$$

Tính $f(2005)$.

Ba cạnh của một tam giác là ba số nguyên dương liên tiếp, và góc lớn nhất gấp đôi góc nhỏ nhất. Tìm chu vi tam giác.

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn bán kính $1$, với $\angle BAC=60^\circ$. Hai đường cao $AD,BE$ cắt nhau tại $H$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài $AH$.

Gọi $\mathbb N$ là tập số nguyên dương. Hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$ thỏa $f(m+n)=f(f(m)+n)$ với mọi $m,n\in\mathbb N$, và $f(6)=2$. Bốn giá trị $f(6),f(9),f(12),f(15)$ đôi một khác nhau. Có bao nhiêu số nguyên dương có ba chữ số $n$ thỏa $f(n)=f(2005)$?

Cho hàm số thực $f$ thỏa

$$f(x,y)=f(x,z)-2f(y,z)-2z$$

với mọi số thực $x,y,z$. Tính $f(2005,1000)$.

Cho $a_1=2006$, và với $n\ge2$,

$$a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2a_n.$$

Giá trị của $2005a_{2005}$ là bao nhiêu?

Tìm số có ba chữ số nhỏ nhất $n$ sao cho nếu ba chữ số là $a,b,c$ thì

$$n=a+b+c+ab+bc+ac+abc.$$

Cho $a_1=21$, $a_2=90$. Với $n\ge3$, lấy $a_n$ là hai chữ số cuối của $a_{n-1}+a_{n-2}$. Tìm số dư của $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2005}^2$ khi chia cho $8$.

Tìm số có hai chữ số nhỏ nhất $N$ sao cho tổng các chữ số của $10^N-N$ chia hết cho $170$.

Tìm số nhỏ nhất $n$ sao cho với mọi cách tô đỏ hoặc xanh các phần tử của $\{1,2,\ldots,n\}$, luôn có các số $x,y,z,w$ cùng màu (không nhất thiết phân biệt) thỏa $x+y+z=w$.

Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa $\frac{100}{151}\lt \frac yx\lt \frac{200}{251}$. Giá trị nhỏ nhất của $x$ là bao nhiêu?

Tìm số nguyên dương lớn nhất $n$ sao cho $n^2\le160\times170\times180\times190$.