Hình dưới đây là bàn cờ $9\times9$ có các ô vuông đơn vị tô đen hoặc trắng xen kẽ và cả bốn ô ở góc đều màu đen. Một quân tượng bị hạn chế cách đi bắt đầu ở một ô đen bất kỳ. Mỗi nước đi, nó chỉ được sang một ô đen kề theo đường chéo, không đi qua ô trắng. Cần ít nhất bao nhiêu nước đi để ghé qua tất cả các ô đen, không nhất thiết quay lại ô xuất phát? Hãy vẽ đường đi.
Đáp số: ___ nước đi. Vẽ đường đi trên bàn cờ trả lời gốc.
Cần cắt một tấm ván $1\times2021$ thành $2021$ ô vuông đơn vị. Mỗi lần, ta có thể cắt một tấm thành hai phần (không nhất thiết bằng nhau), hoặc cắt xuyên qua một chồng các tấm dài bằng nhau để chia mỗi tấm thành hai phần theo cùng một cách. Hãy hoàn thành việc này với số nhát cắt ít nhất có thể. Cần bao nhiêu nhát cắt? Mô tả đầy đủ quá trình cắt.
Người ta viết lên bảng một số số nguyên dương đầu tiên, bắt đầu từ “$1$”. Sau khi xóa một số, trung bình cộng của các số còn lại là $\frac{45}{4}$. Số nào đã bị xóa?
Một miếng nhựa mỏng hình tam giác nằm trên mặt phẳng có thể được lật nhiều lần qua bất kỳ cạnh nào của nó. Sau một số lần lật, nếu vị trí mới có một điểm trong chung với vị trí ban đầu thì hai tam giác phải trùng khít hoàn toàn.
Nếu các tam giác có các góc tương ứng bằng nhau được xem là cùng một loại tam giác, hãy tìm các góc của tất cả các loại tam giác có tính chất này.
(Chú ý: Số đáp án đúng trừ số đáp án sai là số đáp án đúng ròng; mỗi đáp án đúng ròng được $3$ điểm. Tìm đủ tất cả đáp án đúng và không có đáp án sai thì được $40$ điểm.)
Một khối lập phương cạnh $6$ cm được chia thành $49$ khối lập phương nhỏ hơn. Các khối nhỏ không nhất thiết cùng kích thước, nhưng độ dài cạnh của mỗi khối, tính bằng cm, phải là số nguyên. Có bao nhiêu loại khối lập phương theo kích thước? Mỗi loại có bao nhiêu khối?
Mẫu trả lời: ___ loại; ___ khối cạnh 1 cm, ___ khối cạnh 2 cm, ___ khối cạnh 3 cm, ___ khối cạnh 4 cm và ___ khối cạnh 5 cm.
Satya có một số táo và cam. Tổng số quả ban đầu nằm trong khoảng từ $100$ đến $300$, và tỉ số số táo với số cam là $7:4$. Mỗi ngày, bạn ấy ăn ngẫu nhiên hai quả, không nhất thiết cùng loại. Vào ngày thứ $10$, sau khi ăn hai quả, tỉ số trở thành $8:5$. Ban đầu Satya có tất cả bao nhiêu quả táo và cam?
Trong hình dưới đây, mười hạt mang tên $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ được xếp theo chiều kim đồng hồ trên một đường tròn; hạt $A$ được ghi số $9$ và hạt $F$ được ghi số $10$. Ghi các số $1,2,3,4,5,6,7,8$ lên tám hạt còn lại, mỗi số dùng đúng một lần. Số trên $G$ phải lớn hơn số trên $E$, và tổng hai số trên bất kỳ hai hạt kề nhau phải là số nguyên tố. Hãy liệt kê tất cả cách ghi số khác nhau có thể có.
(Chú ý: Số đáp án đúng trừ số đáp án sai là số đáp án đúng ròng; mỗi đáp án đúng ròng được $2$ điểm. Tìm đủ tất cả đáp án đúng và không có đáp án sai thì được $40$ điểm.)
Con đường nối thị trấn $M$ và thị trấn $S$ dài $15$ km. Anna và Boris cùng rời thị trấn $M$ lúc giữa trưa; Anna đi bộ còn Boris đi xe đạp. Trong khi đó, người bạn Olga đi bộ từ thị trấn $S$ về thị trấn $M$; cả ba đi trên cùng con đường. Khi Boris gặp Olga, bạn ấy đưa xe đạp cho Olga rồi đi bộ hết quãng đường còn lại. Olga đi xe đạp đến khi gặp Anna và đưa xe cho Anna. Sau đó Anna đạp xe hết quãng đường còn lại, đến thị trấn $S$ cùng lúc với Boris. Nếu vận tốc đi bộ của mỗi người là $6$ km/h và vận tốc đi xe đạp là $15$ km/h, Olga đã rời thị trấn $S$ trước giữa trưa bao nhiêu giờ?
