2021 IIMC keystage3-IWYMIC individual

Có $81$ điểm được xếp thành một lưới $9\times9$ như hình dưới đây. Nếu khoảng cách giữa hai điểm kề nhau trên cùng một hàng hoặc cột là $1$ cm, hãy xác định số hình chữ nhật có diện tích $12$ cm$^2$ mà cả bốn đỉnh đều thuộc $81$ điểm này.

Có $99$ số được đặt quanh một đường tròn, mỗi số là $1$ hoặc $-1$. Ta tính tích của mỗi nhóm gồm $10$ số liên tiếp quanh đường tròn. Gọi $S$ là tổng của $99$ tích này. Nếu quanh đường tròn có ít nhất một số $1$ và ít nhất một số $-1$, hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $S$ là bao nhiêu?

Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức bậc hai có hệ số nguyên và đều có hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Biết rằng $P(Q(0))=Q(P(0))=1$ và $P(0)+Q(0)=2$. Tìm giá trị của $P(3)+Q(3)$.

Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_9$ là một cách sắp xếp tùy ý các số $1,2,3,\ldots,9$. Giá trị lớn nhất có thể có của biểu thức sau là bao nhiêu?
$$|a_1-\sqrt3a_2|+|a_2-\sqrt3a_3|+|a_3-\sqrt3a_4|+\cdots+|a_8-\sqrt3a_9|+|a_9-\sqrt3a_1|?$$

Trong hình dưới đây, $ABC$ và $ADE$ là hai tam giác đều có độ dài cạnh lần lượt là $6$ cm và $4$ cm. Tìm độ dài của $BE$, tính bằng cm.

Cho $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn $(2x+\sqrt{1+4x^2})(3y+\sqrt{1+9y^2})=1$. Tìm giá trị của $(2x+3y)^2$.

Trong hình dưới đây, góc $A$ là góc vuông, $AB=3$ cm, $BC=5$ cm và $CD=1$ cm. Nếu $BE=EC$, diện tích phần tô đậm bằng bao nhiêu cm$^2$?

Nếu một số nguyên tố viết được dưới dạng $k^k+1$, với $k$ là số nguyên dương, thì số nguyên tố đó được gọi là số nguyên tố IMC. Tìm số nguyên tố IMC lớn nhất không vượt quá $20212021$.

Trong tam giác cân $ABC$ có $AB=BC$, điểm $E$ nằm trên phần kéo dài của cạnh $AC$, với $C$ nằm giữa $A$ và $E$, và điểm $F$ nằm trên đoạn $BE$ sao cho $AC=CF=FE$ và $\angle BAF=3\angle FAE$, như hình dưới đây. Tìm số đo của $\angle FAE$, tính bằng độ.

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho $n+3$ là ước của $1^3+2^3+\cdots+n^3$.

Quốc gia IMC-land gồm $8$ hòn đảo, hiện chưa có đảo nào được nối với đảo khác. Vì mỗi người dân muốn đến thăm tất cả các đảo còn lại, chính phủ dự định xây cầu nối các đảo. Tuy nhiên, mỗi đảo đều có một núi lửa có thể phun trào bất cứ lúc nào, phá hủy đảo đó và mọi cây cầu nối với nó. Chính phủ muốn bảo đảm rằng sau bất kỳ một vụ phun trào nào, người dân ở bất kỳ đảo nào trong $7$ đảo còn lại đều có thể đi một vòng, ghé thăm mỗi đảo còn lại đúng một lần rồi trở về đảo xuất phát (chỉ ở cuối hành trình). Cần xây ít nhất bao nhiêu cây cầu?

Biết rằng
$$\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac1{2021},$$
hãy tìm giá trị của $\frac a{a+b}+\frac b{b+c}+\frac c{c+a}$.

Cho $P$ là một điểm nằm trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $CP=BP$ và $\angle BPC=2\angle BAC$. Đường phân giác của $\angle ACB$ cắt $AB$ tại $L$, và điểm $H$ thuộc $AB$ sao cho $CH\perp AB$, với $L$ nằm giữa $A$ và $H$, như hình dưới đây. Nếu $CP=CH=28$ cm và diện tích tam giác $CPL$ là $196$ cm$^2$, hãy tìm độ dài của $LH$, tính bằng cm.



Trình bày lời giải chi tiết.

Một số viên kẹo được chia cho một lớp có $14$ bạn nam và $17$ bạn nữ. Các bạn nam đều nhận số kẹo bằng nhau, và các bạn nữ cũng đều nhận số kẹo bằng nhau. Mỗi người nhận ít nhất một viên kẹo, nhưng số kẹo mỗi bạn nam nhận có thể khác số kẹo mỗi bạn nữ nhận. Nếu không thể chia lại tổng số kẹo theo bất kỳ cách nào khác mà vẫn thỏa mãn các điều kiện, hãy xác định tổng số kẹo lớn nhất có thể có. Trình bày lời giải chi tiết.

Cho $M$ và $N$ là các số nguyên không âm sao cho $C_{1010}^{2021}$ chia hết cho $2^M\times3^N$. Tìm tổng của tất cả các giá trị có thể có của $M+N$. (Chú ý: $C_{1010}^{2021}$ là số cách chọn từ $2021$ phần tử, mỗi lần lấy $1010$ phần tử không lặp.) Trình bày lời giải chi tiết.