Điền vào mỗi ô vuông đúng một số trong tám số $-1,-1,-1,0,0,1,1,1$ sao cho tổng các số ở mỗi hàng, ở cột và ở bốn góc đều bằng nhau. Có bao nhiêu cách điền hình?
Cho $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn:
$$\begin{cases}x^2+5xy+y^2=7,\\x^2y+xy^2=2,\\x+y\ne2.\end{cases}$$
Tìm mọi giá trị có thể có của $x^2+y^2$. Trình bày lời giải đầy đủ.
Cho $ABC$ là một tam giác và $O$ là một điểm nằm trong tam giác sao cho $\angle ABO=\angle CAO$, $\angle BAO=\angle BCO$ và $\angle BOC=90^\circ$, như hình dưới đây. Nếu $AC=2$ cm, hãy tìm độ dài của $OC$, tính bằng cm.
Tìm tất cả các số nguyên $m$ có bốn chữ số nhỏ hơn $2021$ mà tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $m-n$ là số nguyên tố dương và $m\times n$ là số chính phương. Trình bày lời giải đầy đủ.
Các điểm $A_1,A_2,\ldots,A_{100}$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự này, sao cho $A_1A_2=\frac1{1\times2}$ cm, $A_2A_3=\frac1{2\times3}$ cm, $A_3A_4=\frac1{3\times4}$ cm, ..., $A_{99}A_{100}=\frac1{99\times100}$ cm. Nếu đoạn $A_mA_n$, với $1\leq m<n\leq100$, dài $\frac1{15}$ cm thì giá trị lớn nhất có thể có của $m+n$ thỏa mãn các điều kiện là bao nhiêu?
Trong hình dưới đây, $ABC$ là một tam giác có $AB=60$ cm và $AC=68$ cm. $PQRS$ là một hình vuông với $AP=50$ cm, $AR=46$ cm và $Q$ là trung điểm của $BC$. Tỉ số diện tích của $PQRS$ và diện tích của $ABC$ là bao nhiêu?
Cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn $O$. Điểm $P$ nằm ngoài $O$ sao cho $PB$ và $PC$ đều tiếp xúc với $O$. Nếu $AP$ và $BC$ cắt nhau tại $D$ và $\frac{BD}{CD}=5$ thì giá trị của $\frac{AB}{AC}$ là bao nhiêu?
Có bao nhiêu cách khác nhau để biểu diễn $2021$ thành tổng dùng các số $1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024$, trong đó mỗi số trong mười một số này chỉ được xuất hiện tối đa hai lần? Thứ tự các số hạng không quan trọng. Ví dụ, $2+1+1$ và $1+2+1$ được coi là cùng một cách biểu diễn $4$. Trình bày lời giải đầy đủ.
