IMC 2002 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Cho $m,n,p$ là các số thực. Nếu $a=x^{m+n}y^p$, $b=x^{n+p}y^m$, $c=x^{p+m}y^n$, tìm $a^{m-n}b^{n-p}c^{p-m}$.

Cho $f(x)=\frac{bx+1}{2x+a}$, với các hằng số $a,b$ thỏa mãn $ab\ne2$. (a) Nếu $f(x)f(1/x)=k$ với mọi $x$ thuộc miền xác định, tìm $k$. (b) Chứng minh $f(f(x))$ không phải hàm hằng.

Chứng minh hoặc bác bỏ khả năng ghép một hình chữ nhật bằng số lẻ bản sao của hình đã cho.

Tìm mọi số nguyên khác không $x,y$ thỏa mãn $x\le y$ và $\frac1x+\frac1y=\frac1{14}$.

Bốn anh em chia $137$ đồng vàng, không ai nhận bằng nhau. Số đồng mỗi người nhận là bội nguyên của số đồng người em liền sau nhận. Tìm mọi cách chia.

Trong tam giác $ABC$, $AB=BC$. Đường thẳng qua $B$ cắt $AC$ tại $D$ sao cho bán kính nội tiếp $ABD$ bằng bán kính bàng tiếp $CBD$ đối diện $B$. Chứng minh bán kính chung bằng một phần tư đường cao từ $C$ xuống $AB$.

Hai đường tròn bán kính $a$ cm và $b$ cm tiếp xúc ngoài. Đường tròn thứ ba bán kính $c$ cm tiếp xúc với cả hai và một tiếp tuyến chung. Chứng minh $\frac1{\sqrt c}=\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b}$.

Robbie bị nhốt trong một tấm pin mặt trời và phải thoát qua ô trung tâm được tô. Robbie điều khiển các robot giả khác. Mỗi robot chỉ được di chuyển theo hàng hoặc cột thẳng về một robot khác, dừng ở ô trống ngay trước robot đó. Trong mỗi tình huống trong tám hình, được dùng bốn lượt; một chuỗi chuyển động liên tục của cùng robot tính là một lượt. Robbie được ký hiệu $R$. Tìm cách giải cho từng tình huống.