Olympic Toán học Quốc tế IMO 2011 — Đề chính thức Câu hỏi 5

Đặt $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_{\gt 0}$ là một hàm số sao cho $f(m-n) \mid f(m) - f(n)$ cho $m,n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng nếu $m,n \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(m) \le f(n)$ thì $f(m) \mid f(n)$.